高考数学 2.1 函数及其表示课件.ppt

第二章函数 导数及其应用第一节函数及其表示 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 函数与映射的概念 非空数集 任意 唯一确定 非空集合 任意一个 唯一确定 2 函数的三要素 函数由定义域 和值域三个要素构成 对函数y f x x a 其中 定义域 的取值范围 值域 函数值的集合 3 函数的表示法 表示函数的常用方法有 对应关系 自变量x f x x a 解析法 列表法 图象法 4 分段函数 若函数在定义域的不同子集上 因 不同而分别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数 对应关系 2 必备结论教材提炼记一记 1 映射 映射是函数的推广 函数是特殊的映射 a b为非空数集的映射就是函数 映射的两个特征 第一 在a中取元素的任意性 第二 在b中对应元素的唯一性 映射问题允许多对一 但不允许一对多 2 判断两个函数相等的依据是两个函数的 和 完全一致 3 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 其值域等于各段函数的值域的 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的是一个函数 4 与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点 定义域 对应关系 并集 并集 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 利用待定系数法 换元法 配凑法 消去法确定函数解析式 2 数学思想 数形结合 分类讨论 3 记忆口诀 抽象函数不要怕 赋值方法解决它 分段函数分段算 并到一起保平安 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 函数是建立在其定义域到值域的映射 2 若函数的定义域和值域相同 则这两个函数是相等函数 3 函数f x x2 x与g t t2 t是同一函数 4 f x 是一个函数 解析 1 正确 函数是特殊的映射 2 错误 如函数y x与y x 1的定义域和值域都是r 但它们的对应关系不同 不是相等函数 3 正确 函数f x x2 x与g t t2 t的定义域和对应关系相同 4 错误 因定义域为空集 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修1p17例1 1 改编 函数f x 的定义域为 a 0 2 b 2 c 0 2 2 d 2 2 解析 选c 由题意得解得x 0且x 2 2 必修1p25b组t2改编 若函数y f x 的定义域为m x 2 x 2 值域为n y 0 y 2 则函数y f x 的图象可能是 解析 选b 选项a 定义域为 x 2 x 0 不正确 选项c 当x在 2 2 取值时 y有两个值和x对应 不符合函数的概念 选项d 值域为 0 1 不正确 选项b正确 3 必修1p23t2改编 如图是张大爷晨练时离家距离 y 与行走时间 x 之间的函数图象 若用黑点表示张大爷家的位置 则张大爷散步行走的路线可能是 解析 选d 由y与x的关系知 在中间时间段y值不变 只有d符合题意 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 江西高考 函数f x ln x2 x 的定义域为 a 0 1 b 0 1 c 0 1 d 0 1 解析 选c 由题意可得x2 x 0 解得x 1或x 0 故所求的定义域为 0 1 2 2015 岳阳模拟 已知函数f x 若f a 3 则实数a 解析 因为f a 3 所以a 1 9 即a 10 答案 10 3 2014 上海高考 设f x 若f 2 4 则a的取值范围为 解析 因为f 2 4 所以2 a 所以a 2 则a的取值范围为 2 答案 2 考点1求函数的定义域 典例1 1 2014 山东高考 函数f x 的定义域为 a 0 b 2 c 0 2 d 0 2 2 已知函数f x 的定义域为 1 0 则函数f 2x 1 的定义域为 a 1 1 b 1 c 1 0 d 1 解题提示 1 根据解析式 构建使其有意义的不等关系求解 2 明确函数f x 中的x与函数f 2x 1 中2x 1的关系 列不等式求解 规范解答 1 选c log2x 2 1 0 即log2x 1或log2x2或0 x 故所求的定义域为 0 2 一题多解 解答本题 还有以下解法选c 令x 则 log2 2 1 3 0 排除b 令x 4 则 log24 2 1 3 0 所以排除选项a 令x 2 则 log22 2 1 0 排除d 故选c 2 选b 由函数f x 的定义域为 1 0 则使函数f 2x 1 有意义 需满足 1 2x 1 0 解得 1 x 即所求函数的定义域为 1 互动探究 若本例 2 中条件变为 函数f x 1 的定义域为 1 0 则结果如何 解析 因为f x 1 的定义域为 1 0 即 1 x 0 所以 2 x 1 1 故f x 的定义域为 2 1 则使函数f 2x 1 有意义 需满足 2 2x 1 1 解得 x 1 所以f 2x 1 的定义域为 1 规律方法 1 求函数定义域的类型及方法 1 已知函数的解析式 构造使解析式有意义的不等式 组 求解 2 对实际问题 由实际意义及使解析式有意义构成的不等式 组 求解 3 抽象函数 若已知函数f x 的定义域为 a b 则函数f g x 的定义域由不等式a g x b求出 若已知函数f g x 定义域为 a b 则f x 的定义域为g x 在x a b 时的值域 2 求函数定义域的注意点 1 不要对解析式进行化简变形 以免定义域变化 2 当一个函数由有限个基本初等函数的和 差 积 商的形式构成时 定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集 3 定义域是一个集合 要用集合或区间表示 若用区间表示 不能用 或 连接 而应该用并集符号 连接 变式训练 2015 银川模拟 函数f x lg 3x 1 的定义域是 解析 选b 依题意得 解得 x 1 所以函数定义域为 1 加固训练 1 已知函数f 2x 的定义域为 1 1 则f x 的定义域为 解析 因为f 2x 的定义域为 1 1 所以 2x 2 即f x 的定义域为 2 答案 2 2 2015 揭阳模拟 函数y 的定义域为 解析 要使函数有意义 需即即解得0 x 1 所以定义域为 0 1 答案 0 1 考点2求函数的解析式 典例2 1 已知f 1 x 2 则f x 2 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 则f x 解题提示 1 利用换元法求解 2 已知函数类型 用待定系数法求解 规范解答 1 设t 1 则x t 1 2 t 1 代入原式有f t t 1 2 2 t 1 t2 2t 1 2t 2 t2 1 故f x x2 1 x 1 答案 x2 1 x 1 一题多解 解答本题 还有以下解法 因为x 2 2 2 1 1 1 2 1 所以f 1 1 2 1 1 1 即f x x2 1 x 1 答案 x2 1 x 1 2 因为f x 是一次函数 可设f x ax b a 0 所以3 a x 1 b 2 a x 1 b 2x 17 即ax 5a b 2x 17 因此应有解得故f x 的解析式是f x 2x 7 答案 2x 7 易错警示 解答本例 1 有以下易错点本例第 1 题利用换元法求解析式 易忽视换元后t的取值范围 从而造成求出的函数解析式定义域扩大而致误 规律方法 求函数解析式的常用方法 1 配凑法 由已知条件f g x f x 可将f x 改写成关于g x 的表达式 然后以x替代g x 便得f x 的表达式 2 待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 可用待定系数法 3 换元法 已知复合函数f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意新元的取值范围 4 解方程组法 已知关于f x 与f 或f x 的表达式 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组 通过解方程组求出f x 变式训练 2015 济南模拟 已知f x 满足2f x f 3x 则f x 解析 因为2f x f 3x 所以将x用替换 得2f f x 由 解得f x 2x x 0 即f x 的解析式是f x 2x x 0 答案 2x x 0 加固训练 1 已知f 1 lgx 则f x 解析 令 1 t得x 代入得f t lg 又x 0 所以t 1 故f x 的解析式是f x lg x 1 答案 lg x 1 2 设y f x 是二次函数 方程f x 0有两个相等实根 且f x 2x 2 则f x 解析 设f x ax2 bx c a 0 则f x 2ax b 2x 2 所以a 1 b 2 所以f x x2 2x c 又因为方程f x 0有两个相等实根 所以 4 4c 0 c 1 故f x x2 2x 1 答案 x2 2x 1 3 2013 安徽高考 定义在r上的函数f x 满足f x 1 2f x 当0 x 1时 f x x 1 x 则当 1 x 0时 f x 解析 当0 x 1时 f x x 1 x 当 1 x 0时 0 x 1 1 所以f x 1 x 1 1 x 1 x x 1 而f x f x 1 x2 x 所以当 1 x 0时 f x x2 x 答案 x2 x 考点3分段函数及应用知 考情分段函数作为考查函数知识的最佳载体 以其考查函数知识容量大成为高考命题的热点 试题常以选择题 填空题形式出现 考查求值 解方程 零点 解不等式 函数图象及函数性质等问题 解题过程中常渗透分类讨论的数学思想 命题角度1 求分段函数的函数值 典例3 2015 厦门模拟 设函数f x 则f f 3 明 角度 解题提示 根据自变量的值选择相应的对应关系求值 先求出f 3 然后再求出f f 3 的值 规范解答 选d 因为f 3 所以f f 3 命题角度2 求解分段的方程 不等式 典例4 2014 浙江高考 设函数f x 若f f a 2 则a 本题源于教材必修1p45t4 解题提示 根据自变量的取值分两种情况进行讨论 列出方程进行求解 规范解答 当a 0时 f a a2 2a 2 a 1 2 1 0 f f a 0时 f a a20 所以a 答案 悟 技法与分段函数有关问题的类型及求解思路 1 求分段函数的函数值 根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解 有时各段交替使用求值 2 求分段方程或分段不等式的解 依据不同范围的不同段分类讨论求解 最后将讨论结果并起来 通 一类1 2014 江西高考 已知函数f x a r 若f f 1 1 则a a b c 1d 2 解析 选a 因为 10 所以f f 1 f 2 a 22 1 解得a 2 2015 日照模拟 已知函数f x 满足f a 3 则f a 5 的值为 a log23b c d 1 解析 选c 分两种情况分析 或者 无解 由 得 a 7 所以f a 5 22 3 1 3 2014 新课标全国卷 设函数f x 则使得f x 2成立的x的取值范围是 解析 当x 1时 由ex 1 2可得x 1 ln2 即x ln2 1 故x 1 当x 1时 由f x 2可得x 8 故1 x 8 综上可得x 8 答案 8 4 2015 石家庄模拟 已知函数f x 若f f 0 4a 则实数a 解析 因为f 0 3 0 2 2 f f 0 f 2 4 2a 4a 所以a 2 答案 2 自我纠错3分段函数的参数求值问题 典例 2015 郑州模拟 已知实数a 0 函数f x 若f 1 a f 1 a 则a的值为 解题过程 错解分析 分析上面解题过程 你知道错在哪里吗 提示 上述解题过程出现的错误主要有两个方面 1 误