高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法互动课堂学案 苏教版选修12.doc

2.2.2 间接证明互动课堂疏导引导1.反证法证明数学问题的理解(1)反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律：一个事物或者是a或是，二者必居其一，反证法即证明结论的反面错误.从而结论正确.(2)反证法可以证明的命题的范围相当广泛.一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等.(3)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步.也是关键一步.“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件.“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明.做好“反设”应明确正确分清题设和结论；对结论实施正确否定；对结论否定后，找出其所有情况. 例如 a：大于，：不大于；不大于即小于或等于，对这两种情况在下一步的“归谬”中应一一证明不成立.(4)反证法的“归谬”.它是反证法的核心.其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.2.反证法证明问题的基本思路 用反证法证明结论是b的命题,其思路是：假定b不成立,则b的反面成立,然后从b的反面成立的假定出发,利用一些公理、定理、定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果,若同时承认这个结果与题设条件,则与学过的公理、定理或定义矛盾,这矛盾只能来自“b的反面成立”这个假设,因此b必定成立.可见反证法的步骤是：否定结论推出矛盾否定假设肯定结论,其中推出矛盾是证明的关键.3.反证法所能证明的问题类型 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明显事实,它们的判定方法极少,宜用反证法证明.正难则反这是应用反证法的原则,即一个命题的结论如果难于直接证明时,可考虑用反证法. 另外,宜用反证法证明的题型还有：(1)一些基本命题、基本定理;(2)易导出与已知矛盾的命题;(3)“否定性”命题;(4)“唯一性”命题;(5)“必然性”命题;(6)“至多”“至少”类的命题;(7)涉及“无限”结论的命题等等.4.应用反证法证明问题时应注意的问题(1)要想得到原命题相反的判断,必先弄清原命题的含义,即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不能扩大),然后避开问题给的条件考虑可能得到的各种结论,从这些结论中把原命题所含的结论剔除,就得到原命题的相反判断,如“是”的反面是“不是”,“有”的反面是“没有”,“等”的反面是“不等”,“成立”的反面是“不成立”,“有限”的反面是“无限”,以上这些都是相互否定的字眼,较为易找,应注意以下的否定：“都是”的反面为“不都是”,即“至少有一个不是”(不是“都不是”);“都有”的反面为“不都有”,即“至少一个没有”(不是“都没有”);“都不是”的反面为“部分是或全部是”,即“至少有一个是”(不是“都是”);“都没有”的反面为“部分有或全部有”,即“至少一个有”(不是“都有”).(2)间接论证的应用有一定困难,因为在间接证明过程中,不得不暂时离开所讨论的论题,引进许多补充的材料(如结论的反面等),致使全部考查过程复杂化.但这种方法我们务必学会.因为在实际生活以及数学和其他科学中,时常会遇到这样的命题,当时并无直接证明它的论据,必须用间接法来证明它的真实性.(3)用反证法证明命题“若p则q”,它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：肯定条件p“既p又q”为假“若p则q”为真.(4)应用反证法证明数学问题,一般有下面几个步骤： 第一步：分清命题“pq”的条件和结论; 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定q; 第三步：由p和q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步：断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定q不真,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题pq为真.(5)第三步所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾,与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.活学巧用例1 求证：质数有无穷多.证明：如果质数的个数有限,那么我们可以将全体质数列举如下：p1,p2, ,pk,命q=p1p2pk+1.q总是有质因数的,但我们可证明任何一个pi(1ik)都除不尽q.假若不然,由pi除尽q,及pi除尽p1p2pk可得到pi除尽(q-p1p2pk),即pi除尽1,这是不可能的.故任何一个pi都除不尽q.这说明q有不同于p1、p2, ,pk的质因数.这与只有p1,p2, ,pk是全体质数的假定相矛盾.所以质数有无穷多.点评：本题是利用反证法证明数学中的一个基础命题,本命题若用直接方法来证明非常困难,因此宜用反证法.例2 如图，设sa、sb是圆锥so的两条母线,o是底面圆心,c是sb上一点,求证：ac与平面sob不垂直.证明：假设ac平鍿ob,直线so在平面sob内,soac.so底面圆o,soab.so平面sab.平面sab底面圆o. 这显然出现矛盾,假设不成立, 即ac与平面sob不垂直.点评：否定性地问题常用反证法.例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾.例3 证明方程2x=3有且只有一个根.证明：2x=3,x=log23.这说明方程有一个根. 下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的. 假设方程2x=3有两个根b1、b2(b1b2), 则=3,=3.两式相除,得=1. 如果b1-b20,则1,这与=1相矛盾; 如果b1-b20,则1,这也与=1相矛盾. 因此b1-b2=0,则b1=b2.这就同b1b2相矛盾. 如果方程的根多于两个,同样可推出矛盾. 故2x=3有且只有一个根.点评：“有且只有”表示“存在且唯一”.因此,在证明此类问题时要分别从存在性和唯一性两方面来考虑,而证明唯一性时,通常使用反证法.例4 设an是公比为q的等比数列，sn是它的前n项和.()求证：数列sn不是等比数列；()数列sn是等差数列吗？为什么？证明：()法1 (反证法) 若sn是等比数列，则=s1s2，即(1+q)2=a1a1(1+q+q2)a10，(1+q)2=1+q+q2，即q=0与q0矛盾，故sn不是等比数列.法2 只需证明snsn+2sn+1=a1+qsn，sn+2=a1+qsn+1snsn+2-=sn(a1+qsn+1)-(a1+qsn)sn+1=a1(sn-sn+1)=-a1an+1)0.()当q=1时，sn是等差数列.当q1时，sn不是等差数列，否则s1，s2，s3成等差数列.即2s2=s1+s32a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2).由于a10，2(1+q)=2+q+q2，q=q2，q1，q=0与q0矛盾.点评:本题的解答依赖于等差和等比数列的概念和性质，体现了特殊化思想，