焦点专题7 等差数列与等比数列.doc

焦点专题7 等差数列与等比数列【基础盘点】1、一般数列与法:;2、等差数列:定义:当 时,数列为等差数列,可用于等差数列的证明; 通项: = ,要明确数列为 数列; 前项和: = ; 通项性质:若,则 ,特别地,若是与的等差中项,则 ; 前项和性质:若,则当 0时,有最大值;若,则当 0时,有最小值;3、等比数列:定义:当 时,数列为等比数列,可用于等比数列的证明; 通项: = ,要明确数列为 数列; 前项和:,用该公式时特别关注项数的考虑; 通项性质1:若,则 ,特别地,若是与的等比中项,则 ; 通项性质2:中没有为 的项, 0;当时,中所有的项 号,当时,中相间的项 号;4、一般数列通项的求法:数列:.可用 法,求得 ; 若,可用 法,求得 ; 若,可用 法,求得 ; 若,可用 法,求得 .【例题精选】焦点1:与法【例1】1、已知数列的前n项之和为,求数列的通项公式.【题情捉摸】(1)当时, ;(2)当时, .2、设数列的前项和为,且,则 .【题情捉摸】(1)当时,有 ,从中解得 ;(2)当时, ,化简得 , 知数列为 数列,进而得通项.焦点2:等差数列的通项公式、前项和公式、性质、证明【例2】1、设等差数列的前项和为,若,求的最小值.【题情捉摸】(法1)由条件得 ,从而 ,用配方法可求其最小值;(法2)由条件得 ,从而 ,令 0,知当 时, 取得最小值,进而得的最小值.2、设等差数列的前项和为,若,则 .【题情捉摸】由,得 ,从而得结果.3、已知曲线:,数列的首项,且当时,点恒在曲线上,数列满足.(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列和的通项公式.【题情捉摸】(1)点在曲线:上,得 , 要证是等差数列,只证当时, 即可,再检验 是否也适合这个等差数列便得证明; (2)顺手求得 ,代入求得 .焦点3:等比数列的通项公式、前项和公式、性质、证明【例3】1、设是由正数组成的等比数列,为其前项和.已知,求.【题情捉摸】(1)将与代入,得 ,代入,从而 解得 ,有 ; (2)由与的值可算得 .2、已知数列的前n项之和为,若,则的最大值等于 .【题情捉摸】可得 ,得到后代入 再估算即得的最大值.3、已知数列中,令.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的通项.【题情捉摸】(1)由,得,两式相减有 , 将代入得 ,而 ,从而得证; (2)由(1)得 ,代入,再用累加法得.【真题回顾】1、(2010广东文)已知数列为等比数列,是它的前n项和,若,且与的等差中项为,则S5=w_w w. k#s5_u.c o*mw_w*w.k_s_5 u.c*o*m A.35 B.33 C.31 D.292、(2009广东文)已知等比数列的公比为正数,且,则A. B. C. D.3、(2009广东理)已知等比数列满足,且,则当时,A. B. C. D.4、(2009广东文)已知点是函数的图像上一点.等比数列 的前n项和为.数列的首项为c,且前n项和满足(1)求数列和的通项公式;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)若数列的前项和为,问满足的最小正整数是多少?【名模精选】5、(2010广州调研文)已知等差数列中,则数列的前13项之和为A. B. C. D.6、(2010湛江一模理)数列中,且,则前2010项的和等于 A.1005 B.2010 C.1 D.07、(2010深圳二模文)已知等差数列中,则的值是A.18B.20 C.26 D.288、(2010佛山一模文)若数列满足:,其前项和为,则 .9、(2010广州一模文)在等比数列中,公比,若,则的值为 .10、(2010广州二模文)如图是一个有层的六边形点阵.它的中心是一个点,算作第一层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,第层每边有个点,则这个点阵的点数共有 个. 11、(2010广州调研文)设为数列的前项和,对任意的N,都有为常数,且.(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列的公比,数列满足 ,N,求数列的通项公式;12、(2011珠海摸底)已知函数,数列满足. (1)求数列的通项公式; (2)求; (3)求证:【参考答案】【例1】1.当时,;当时,.2.当时,有,;当时,得,数列是以首项为2,公比为2的等比数列,于是.【例2】1.设该数列的公差为,则,解得,所以,所以当或时,取最小值的最小值为.(解法2更为简便,留给读者).2.由,得,有,从而.3.(1)当时,点恒在曲线上,由得当时,而,数列是首项为,公差为的等差数列;(2)4,由,得.【例3】1.由得,又,解得或(舍去).得,.2.,由,得,又单调递增,且,得.3.(1)证明:由,得,两式相减有,而,又.是以2为首项,公比为2的等比数列.(2)解:由(1)得,即,=.1.C 2.B 3.C 4.(1), w.w.w, , , .又数列成等比数列, ,所以 ;又公比,所以, ; 又, ;数列构成一个首相为1公差为1的等差数列,得 ,当, ;();(2) ;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得,满足的最小正整数为112.5.B 6.A 7.A 8. 9. 10.11.(1)证明:当时,解得.当