7年级寒假班08-相交线平行线的复习-教师版

初一数学寒假班（教师版）教师日期学生课程编号08课型复习课课题相交线和平行线复习教学目标1．理解三线八角的概念，能够进行简单的角度计算；2．能够灵活运用平行线的判定定理和性质定理进行证明；

3．能够通过适当的添加辅助线，将复杂的平行线相关的题目证明．教学重点理解和掌握平行线的性质定理并进行证明；2．利用平行线的性质进行角度的计算．教学安排版块时长1相交直线30min2平行直线40min3综合20min4随堂练习30min

相交线、平行线的复习相交线、平行线的复习知识结构知识结构知识精讲模块一：相交直线相交直线知识精讲模块一：相交直线相交直线两条直线被第三条直线所截同位角、内错角、同旁内角平行直线平行线间的距离平行线间的距离判定方法与性质邻补角垂直对顶角同一平面内两条不同的直线斜交垂直的基本性质点到直线的距离线段的垂直平分线（一）概念：1.邻补角有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角．2.对顶角一个角的两边分别为另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．3.垂线两条直线相交所成四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．4.垂线段过直线外一点，作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段．5.点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度．（二）性质：1.对顶角的性质：对顶角相等．2.邻补角的性质：互为邻补角的两个角和为180°．3.垂线的基本性质：（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；（2）垂线段最短．例题解析例题解析ababl截线为a，被截线为b、l时：同位角：________________；内错角：________________；同旁内角：________________；截线为b，被截线为a、l时：同位角：_________________； 内错角：__________________；同旁内角：_______________．【难度】★【答案】和∠7，∠11和∠6，∠5和∠10，∠8和∠9；∠8和∠11，∠7和∠10；∠8和∠10，∠7和∠11；∠12和∠3，∠1和∠9，∠2和∠10，∠4和∠11；∠3和∠10，∠4和∠9；∠4和∠10，∠3和∠9．【解析】同位角：在直线两旁，被截线的同侧，形如字母F；内错角：在直线两旁，被截线的两侧，形如字母Z；同旁内角：在直线两旁，被截线的同侧，形如字母U．【总结】考察内错角、同位角、同旁内角的定义．ABCDEFO如图所示，直线AB和CD相交于点O，OE、OFABCDEFOA．∠AOF和∠DOE B．∠EOF和∠BOE C．∠COF和∠BOD D．∠BOC和∠AOD【难度】★【答案】D【解析】题目中只有两条直线AB和CD相交于点O，则只有这两条直线才能构成对顶角．【总结】考察对顶角的定义．下列说法中，正确的有（ ）（1）过两点有且只有一条线段 （2）连结两点的线段叫做两点的距离（3）两点之间，线段最短 （4）AB＝BC，则点B是线段AC的中点（5）射线比直线短A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【难度】★【答案】A【解析】（1）错误，不止一条；（2）错误，两点的距离是连接两点的线段的长度；（3）正确；（4）错误，点B的位置不能确定，以B为圆心，AB长为半径的圆都满足题意；（5）错误，射线没有端点，所以不能用距离来衡量．综上，（1）、（3）正确．【总结】考察直线、线段、射线等概念．如图，直线AB、CD相交于点O，EF⊥AB于O，且∠COE=50°，则∠BOD等于ABCDEFABCDEFOA．40° B．45° C．55° D．65°【难度】★【答案】A【解析】∵直线AB、CD相交于点O，∴（对顶角相等）∵EF⊥AB于O（已知），∴（垂直的意义）∴（等式性质）【总结】考察对顶角、垂直的定义及运用．如果∠1与∠2互补，∠1与∠3互余，那么（ ）．A．∠2＞∠3 B．∠2=∠3C．∠2＜∠3 D．∠2≥∠3【难度】★★【答案】A【解析】∵∠1与∠2互补，∠1与∠3互余（已知），∴，（互补及互余的意义）∴，（等式性质）∴∠2＞∠3（不等式的性质的运用）【总结】考察角度互补、互余的定义．现在的时间是9点20分，此时钟面上的时针与分针的夹角是（ ）．A． B．155° C． D．【难度】★★【答案】C【解析】时针的速度是，则20分钟时针转了．而钟面上数字9到数字4（20分钟时，分针指向4）之间的度数为150°所以此时钟面上的时针与分针的夹角是150°+10°=160°．【总结】考察时钟问题．注意总结规律：时针的速度是；分针的速度是．ABCDOE如图，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°，则ABCDOE【难度】★★【答案】30°．【解析】∵OB平分∠DOE（已知），∠DOE=60°（已知），∴（角平分线的意义）∵直线AB、CD相交于点O，∴（对顶角相等）【总结】考察角平分线、对顶角的定义及运用．abcd如图，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°，则∠abcd【难度】★★【答案】80°．【解析】设的对顶角为∠5，则∠2=∠5=98°．∵∠1=82°，∠5=98°（已知）∴（等式性质）∴（同旁内角互补，两直线平行）∴（两直线平行，内错角相等）【总结】考察对顶角的定义、平行线的判定定理和性质定理的运用．（1）在下图中画出表示点P到直线a距离的垂线段PM；21abP（2）过点P画出直线b的平行线c，与直线21abP（3）如果直线a与b的夹角为35°，求出∠MPN的度数．【难度】★★【答案】（1）图上虚线为所求：（2）图上虚线为所求：（3）55°．【解析】略．【总结】考察垂线段、平行线的画法；平行线的判定和性质的应用．ABCDEFO如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，CD⊥AB，∠AOE：∠AOD=3：5，求∠ABCDEFO【难度】★★【答案】∠BOF=54°，∠DOF=36°．【解析】∵CD⊥AB（已知），∴（垂直的意义）∵∠AOE：∠AOD=3：5（已知），∴（等式性质）∵直线AB、EF相交于点O，∴（对顶角相等）∵CD⊥AB（已知），∴（垂直的意义）∴（等式性质）【总结】考察对顶角、垂直的定义和应用．如图所示，已知：BC是从直线AD上出发的一条射线，BE平分∠ABC，ABCDFE∠EBF=90°，说明BFABCDFE【难度】★★【答案】见解析【解析】∵BE平分∠ABC（已知），∴（角平分线的意义）．∵（邻补角的意义），∴（等式性质）∵∠EBF=90°（已知），∴（等式性质）∴（等式性质）∴（等量代换）∴（等式性质）∵（角的和差），∴，即BF平分∠CBD（角平分线的意义）【总结】考察平角、角平分线的定义．注意几何题目中的代数计算．如图，已知：∠1与∠2互余，DO⊥OC，EO平分∠COD，∠E=110°，ABCDABCDEO【难度】★★★【答案】65°【解析】∵DO⊥OC（已知），∴（垂直的意义）∵（平角的意义），∴（等式性质）∵∠1与∠2互余（已知），∴（互余的意义）∴（同角的余角相等），∴（内错角相等，两直线平行）∴（两直线平行，内错角相等）∵EO平分∠COD，（已知）∴（角平分线的意义）∴（等式性质）【总结】考察互余、垂直、角平分线定义；平行线判定和性质应用．模块二：平行线的判定和性质模块二：平行线的判定和性质知识精讲知识精讲1、平行线的基本性质经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理及推论是整个初中平面几何的基石，是其它公理、定理的基础．平行公理及其推论在说明直线平行时，经常用到．注意：这条性质与垂线的性质很相似，但过任意一点都可以画垂线，而画平行线，只能是过直线外一点才可以．2、平行线的三种判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行，简单地说，同位角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行，简单地说，内错角相等，两直线平行．（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行，简单地说，同旁内角互补，两直线平行．例题解析例题解析如图，已知∠1=∠B，∠2=∠C，则下列结论不成立的是（ ）．A．AD∥BC B．∠B=∠C C．∠2+∠B=180° D．AB∥CDABCD【难度】ABCD【解析】∵∠1=∠B（已知），∴（同位角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同旁内角互补）∵∠2=∠C（已知），∴（等量代换），∴（同旁内角互补，两直线平行），故选B．【总结】考察平行线的判定和性质的应用．如图，所示，∥，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=（ ）．123A．20° B．40° C．50° 123【难度】★【答案】B【解析】过中间的折点作平行线，则可得结论：，∵∠1=120°，∠2=100°，∴．【总结】考察平行线的判定和性质的应用．如图，已知直线a∥b，c∥d，∠1=115°，那么∠2=_________，∠3=_________．cdacdab【答案】115°，115°．【解析】∵a∥b（已知），∴（两直线平行，内错角相等）∵c∥d（已知），∴（两直线平行，同位角相等）【总结】考察平行线的判定和性质的应用．如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠3=________．【难度】★【答案】40°【解析】过折点作平行线∵（已作），∴（两直线平行，同旁内角互补）∵（已知），∴（两直线平行，同旁内角互补）∴（等式性质）∵∠1=100°，∠2=120°，（已知）∴（等式性质）∵（平角的意义）∴（等式性质）【总结】考察平行线的性质和判定的应用．如图，AB∥CD

，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG＝72°，则∠EGF等于（ ）．FGDCAEBABCDEFGA．36°FGDCAEBABCDEFG【难度】★★【答案】B【解析】∵AB∥CD

（已知），∴（两直线平行，同旁内角互补）∵∠EFG＝72°（已知），∴（等式性质）∵EG平分∠BEF（已知），∴（角平分线的意义）∵AB∥CD

（已知），∴（两直线平行，内错角相等）【总结】考察角平分线的定义；平行线的判定和性质的应用．两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线（ ）．A．互相重合 B．互相平行 C．互相垂直 D．相交【难度】★★【答案】B【解析】如图，已知，直线分别交直线AB、CD与E、F，EG平分∠MEB，FH平分∠EFD，则．理由如下：∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等）∵EG平分∠MEB，FH平分∠EFD，（已知）∴，（角平分线的意义）∴（等式性质）∴（同位角相等，两直线平行）【总结】考察角平分线的定义；平行线的判定和性质的应用．如图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是（ ）A．∠A+∠E+∠D=180° B．∠A－∠E+∠D=180°C．∠A+∠E－∠D=180° D．∠A+∠E+∠D=270°【难度】★★【答案】C【解析】过E作EF∥AB则（两直线平行，同旁内角互补）∵AB∥CD，EF∥AB（已知），∴EF∥CD（平行的传递性）∴（两直线平行，内错角相等）∵（角的和差）∴（等式性质）即∠A+∠E－∠D=180°．【总结】考察角平分线的定义；平行线的判定和性质的应用．如图，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数．ABCDEABCDEMN【解析】∵AB∥CD（已知），∴（两直线平行，同旁内角互补）∵∠B=65°（已知），∴∠ECB=115°（等式性质），∵CM平分∠BCE（已知），∴（角平分线的意义）∵（平角的意义）∴（等式性质）【总结】考察角平分线的定义；平行线的判定和性质的应用．已知：如图，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，并且∠1+∠2=90°，ABCDE说明DAABCDE【难度】★★★【答案】见解析．【解析】∵CE平分∠BCD，DE平分∠CDA（已知），∴，（角平分线的意义）∵∠1+∠2=90°（已知），∴（等量代换）∴（等式性质）∴（同旁内角互补，两直线平行）∴（两直线平行，同旁内角互补）∵CB⊥AB（已知），∴（垂直的意义）∴（等式性质），即DA⊥AB．【总结】考察角平分线的定义；平行线的判定和性质的应用．如图，已知AB∥CD，∠DAB＝∠DCB，AE平分∠DAB且交BC于E，CF平分∠DCB且交AD于F．试说明AE∥FC的理由．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】∵AB∥CD（已知），∴∠DAB+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠DAB＝∠DCB（已知），∴∠DCB+∠D=180°（等量代换），∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB（已知）∴，（角平分线的意义）∵∠DAB＝∠DCB（已知），∴∠DAE＝∠FCB，（等式性质）∵AD∥BC（已知），∴∠DAE＝∠AEB（两直线平行，内错角相等）∵∠DAE＝∠FCB（已知），∴∠AEB＝∠FCB（等量代换），∴AE∥FC（同位角相等，两直线平行）【总结】考察角平分线的定义；平行线的判定和性质的应用．模块三：辅助线的添加模块三：辅助线的添加例题解析例题解析如图所示，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是（ ）ABCDA．∠1=∠2 B．∠ABDABCDC．∠3=∠4 D．∠BAD+∠ABC=180°【难度】★【答案】B【解析】A、C、D可以判定出AD∥BC，B答案中是由直线AB和直线CD被直线BD所截构成的同位角．【总结】考察平行线的判定定理的用法．下列说法正确的是（ ）A．在同一平面内，两条不相交的直线叫平行线 B．一条直线的平行线有且只有一条C．若直线a∥b，b∥c，则a∥c D．两条直线不相交就平行【难度】★【答案】C【解析】A答案错误，两条不相交的直线也可以重合；B答案错误，一条直线的平行线有无数条；D答案错误，在同一平面内，两条直线不相交就平行．【总结】考查同一平面内，两直线的位置关系．已知在同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（ ）A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c【难度】★★【答案】B【解析】B答案错误，正确结果为：如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c【总结】考察平行线的传递性、垂直的性质的综合运用．ABCDEF如图，AF平分∠BAC，DE平分∠BDF，ABCDEF试说明：DE∥AF，DF∥AC的理由．【难度】★★【答案】见解析【解析】∵AF平分∠BAC，DE平分∠BDF（已知），∴，（角平分线的意义）∵∠1=∠2（已知），∴（等式性质），∴DE∥AF（同位角相等，两直线平行）∴（两直线平行，内错角相等）∵（已证）∴（等量代换）∵∠1=∠2（已知），∴（等量代换），∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）【总结】考察平行线的判定和性质的应用．ABCDEFG如图所示，AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF、EG三等分∠AEC，问：EFABCDEFG【难度】★★★【答案】有，EF∥AB，理由见解析．【解析】∵AB∥CD，∴∵EF、EG三等分∠AEC，∴∴，∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）ABABCDEF如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试说明∠AED=∠C的理由．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】∵（邻补角的意义），∠1+∠2=180°（已知），∴（同角的补角相等），∴（内错角相等，两直线平行），∴（两直线平行，内错角相等）∵∠3=∠B（已知），∴（等量代换），∴（同位角相等，两直线平行）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）【总结】考察平行线的判定和性质的应用．ABCDEFGP已知DB//FG//EC，∠ABD=60°，∠ACE=40°，APABCDEFGP【难度】★★★【答案】10°．【解析】∵DB//FG//EC，∠ABD=60°，∠ACE=40°（已知），∴，（两直线平行，内错角相等）∴（等式性质）∵AP是∠BAC的平分线（已知）∴（角平分线的意义）∴（等式性质）【总结】考察平行线的性质及角平分线的意义的综合应用．ADCBEFG如图，长方形ABCD中，E为AB上一点，把△CEB沿CE对折，设GE交DC于点F，若ADCBEFG【难度】★★★【答案】50°【解析】∵四边形ABCD是长方形（已知），∴，（长方形的意义）∴（两直线平行，内错角相等）根据折叠的性质可得：（等式性质）则（等式性质）【总结】考察平行线的性质和翻折性质的综合应用．随堂检测随堂检测下列说法中正确的是（ ）A．有且只有一条直线垂直于已知直线 B．互相垂直的两条线段一定相交C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短的线段长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm【难度】★【答案】D【解析】A错误，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；B错误．因为线段不能无限延伸，所以互相垂直的两条线段不一定相交；C错误．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．【总结】考察两条直线相交的性质．下列语句正确的是（ ）A．相等的角是对顶角 B．不是对顶角的角都不相等C．不相等的角一定不是对顶角 D．有公共点且和为180°的两个角是对顶角【难度】★【答案】C【解析】A错误，相等的角也有可能不是对顶角；B错误，不是对顶角的角也有可能相等；D错误，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角．【总结】考察对顶角、邻补角的定义．如图点E在AC延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）A．∠3=∠4 B．∠1=∠2 C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=1800【难度】★【答案】B【解析】∠1和∠2是由直线AB和直线CD被直线BC所截得到的内错角，所以选B【总结】考察平行线的判定方法．ABCDEF如图所示，给出了四个判断①∠1的内错角只有∠3；②∠A的同旁内角只有∠1、∠5；③∠2的内错角只有∠4；ABCDEFA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【难度】★★【答案】A【解析】①正确；②错误，∠A的同旁内角只有∠1、∠5、、；③错误；∠2的内错角有∠4、；④错误；和，和∠5，∠5和∠3，和，∠2和、∠4和、∠1和、∠4和共8对．所以只有①正确．【总结】考察同位角、内错角、同旁内角的定义．ABCDEFO如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BODABCDEFO∠2：∠1=4：1，求∠AOF的大小．【难度】★★【答案】．【解析】∵∠2：∠1=4：1，∴设，∵OE平分∠BOD（已知），∴（角平分线的意义）∵（邻补角的意义），∴，即（等式性质）∴（邻补角的意义）∵OF平分∠COE（已知），∴（角平分线的意义）∵直线AB、CD相交于点O，∴（对顶角相等）∴（等式性质）【总结】考察角度计算的方法．如图所示，ABCDE（1）若∠A=∠ABCDE（2）若∠2=∠E,则______∥______；（3）若∠A+∠ABE=180°，则______∥______．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）∠A和∠3是由直线AD和直线BE被直线BD所截得到的同位角；∠E和∠2是由直线DB和直线CE被直线BE所截得到的内错角；∠A和∠ABE是由直线AD和直线BE被直线AB所截得到的同旁内角．【总结】考察平行线的判定方法．ABCDEF如图，已知AB∥ED，求证：∠B+∠ABCDEF【难度】★★【答案】见解析．【解析】过C作CF∥AB，∴（两直线平行，内错角相等）∵AB∥ED，CF∥AB（已知），∴CF∥ED（平行的传递性）∴（两直线平行，内错角相等）∵（角的和差），∴∠B+∠D＝∠C（等量代换）．【总结】考察平行线的性质的应用．已知∠ABE+∠CEB=180°，∠ABF=∠DEG，说明∠F=∠G的理由．【难度】★★【答案】见解析【解析】∵∠ABE+∠CEB=180°（已知），∴（同旁内角互补，两直线平行）∴（两直线平行，内错角相等）∴（角的和差）∵∠ABF=∠DEG（已知）∴∠FBE=∠BEG（等式性质），∴BF∥EG（内错角相等，两直线平行），∴∠F=∠G（两直线平行，内错角相等）【总结】考察平行线的判定和性质的综合运用．已知AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN，且∠1与∠2互余，试说明PQ//MN．ABCPQABCPQMN【解析】∵AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN（已知），∴，（角平分线的意义）∵∠1与∠2互余（已知），∴（互余的意义）∴（等量代换）∴（等式性质）∴PQ//MN（同旁内角互补，两直线平行）．【总结】考察平行线判定定理及角平分线的应用．已知：如图，把一张长方形纸片的一角沿EF翻折，使顶点A落在处，再将另一角沿CE翻折过去与使落在直线上，CE为折痕，求两条折痕的夹角∠FEC为多少度?【难度】★★★【答案】90°．【解析】由折叠的性质可得：，，∵（平角的意义）∴（等式性质）即（角的和差）【总结】考察折叠的性质综合运用．课后作业 课后作业下列说法正确的有（ ）①一条直线与平行线中的一条直线垂直，则这条直线也垂直于另一条直线；②邻补角的两条平分线互相垂直；③平行线的同旁内角的平分线互相垂直；④同时垂直于第三条直线的两条直线互相垂直．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【难度】★【答案】B【解析】①②③正确，④错误，同时垂直于第三条直线的两条直线平行．【总结】考察平行线的性质和判定．如图，能与∠构成同旁内角的角有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【难度】★【答案】C【解析】同旁内角的定义：两个角都在截线的一侧，且在两条直线之间的一对叫互为同旁内角．【总结】考察同旁内角的定义．如图所示，若已知∠D+∠C=180°，可判定直线______和______平行；ABEDFCABEDFC【难度】★【答案】AD、BC、AB、CD．【解析】同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．【总结】考察平行线的判定方法的运用．如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（ ）A． B．都是C．或10°， D．以上答案都不对【难度】★★【答案】C【解析】两个角的两条边分别平行，则这两个角相等或者互补．当两角相等时，则这两个角都等于10°；当两角互补时，两个角为．【总结】考察平行线的性质，注意分类讨论．如下图，已知AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠DEC为（ ）A．30° B．60° C．90° D．120°【难度】★★【答案】B【解析】∵AD∥BC，∠B＝30°，（已知）∴（两直线平行，内错角相等）∵DB平分∠ADE（已知），