高考数学 第六章 第一节 不等关系与一元二次不等式课件 理 苏教版.ppt

第六章不等式 推理与证明第一节不等关系与一元二次不等式 1 一元二次不等式 1 定义 只含有 未知数 并且未知数最高次数是2的不等式 2 一元二次不等式的解集 满足一元二次不等式的解组成的集合 一个 2 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 x xx2 x r x r x x1 x x2 在不等式ax2 bx c 0 a 0 中 如果二次项系数a 0 则可先根据不等式的性质 将其转化为正数 再对照上表求解 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 形如ax2 bx c 0 ax2 bx c0 3 若不等式ax2 bx c 0的解集是 x1 x2 则方程ax2 bx c 0的两个根是x1和x2 4 若方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 则不等式ax2 bx c 0的解集为r 5 不等式ax2 bx c 0在r上恒成立的条件是a 0且 b2 4ac 0 6 若二次函数y ax2 bx c的图象开口向下 则不等式ax2 bx c 0的解集一定不是空集 解析 1 错误 形如ax2 bx c 0 a 0 等的不等式才是一元二次不等式 即x2项的系数必须不为0 2 正确 由不等式ax2 bx c0 3 正确 由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是正确的 4 错误 只有当a 0时才成立 当a0的解集为空集 5 错误 还要考虑a 0的情况 不等式ax2 bx c 0在r上恒成立的条件是a 0 b 0 c 0或a 0且 b2 4ac 0 6 正确 当抛物线开口向下时 在x轴下方一定存在图象 因此ax2 bx c 0的解集一定不是空集 答案 1 2 3 4 5 6 1 不等式 x 2 x 1 0的解集为 解析 由不等式的解法 得x 1或x1或x 2 2 函数f x 的定义域为 解析 依题意有3x x2 0 解得0 x 3 即定义域为 0 3 答案 0 3 3 关于x的不等式ax2 bx 2 0的解集是 则a b 解析 由题意a 0 x1 x2 是方程ax2 bx 2 0的两个根 所以 解得a 12 b 2 故a b 14 答案 14 4 不等式ax2 2ax 1 0对一切x r恒成立 则实数a的取值范围为 解析 当a 0时 不等式为1 0恒成立 当a 0时 需 0 a 1 综上0 a 1 答案 0 1 5 某种产品的总成本y 万元 与产量x 台 之间的函数关系式是y 3000 20 x 0 1x2 x 0 240 若每台产品的售价为25万元 则生产者不亏本时的最低产量是 解析 要使生产者不亏本 则应满足25x 3000 20 x 0 1x2 整理得x2 50 x 30000 0 解得x 150或x 200 舍去 故最低产量是150台 答案 150台 考向1一元二次不等式的解法 典例1 1 2013 无锡模拟 若全集u r 集合m x x2 x 0 则集合m 2 2012 湖南高考 不等式x2 5x 6 0的解集为 3 解关于x的不等式ax2 a 1 x 1 0 思路点拨 1 首先明确集合m的含义 再转化为解不等式问题 2 按照一元二次不等式的解法步骤进行求解 3 首先对a的符号进行分类讨论 在每一种情况中 如果有必要再按照根的大小进行讨论 规范解答 1 对于m 由x2 x 0 得x 1或x 0 m x 0 x 1 答案 x 0 x 1 2 不等式可化为 x 2 x 3 0 因此2 x 3 即不等式的解集为 x 2 x 3 答案 x 2 x 3 3 当a 0时 原不等式变为 x 11 当a 0时 原不等式可化为a x 1 x 0 又因为1或x0 则上式即为 x 1 x 1时 原不等式的解为 x 1 当 1 即a 1时 原不等式的解为 当 1 即01 当a 0时 x x 1 当01时 x x 1 拓展提升 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 1 二次项中若含有参数应讨论是小于0 还是大于0 然后将不等式转化为二次项系数为正的形式 2 判断方程的根的个数 讨论判别式 与0的关系 3 确定无根时可直接写出解集 确定方程有两个根时 要讨论两根的大小关系 从而确定解集形式 提醒 当不等式中二次项的系数含有参数时 不要忘记讨论其等于0的情况 变式训练 1 已知函数f x x2 bx 1是r上的偶函数 不等式f x 1 x的解集为 解析 由于函数是偶函数 可得b 0 此时f x x2 1 于是不等式f x 1 x可化为x2 3x 2 0 解得1 x 2 答案 x 1 x 2 2 解关于x的不等式 1 ax 20时 由ax ax 2 0时 不等式解集为 x 0 x 当a 0时 不等式解集为 x x 0 考向2一元二次不等式的恒成立问题 典例2 已知函数f x x2 ax 3 1 当x r时 f x a恒成立 求a的范围 2 当x 2 2 时 f x a恒成立 求a的范围 思路点拨 1 可直接利用判别式 0求解 2 可转化为求f x a在 2 2 上的最小值 令其最小值大于或等于0即可 规范解答 1 f x a即x2 ax 3 a 0 要使x r时 x2 ax 3 a 0恒成立 应有 a2 4 3 a 0 即a2 4a 12 0 解得 6 a 2 2 当x 2 2 时 设g x x2 ax 3 a 分以下三种情况讨论 当 2 即a 4时 g x 在 2 2 上单调递增 g x 在 2 2 上的最小值为g 2 7 3a 因此a无解 当 2 即a 4时 g x 在 2 2 上单调递减 g x 在 2 2 上的最小值为g 2 7 a 因此解得 7 a 4 2 2 即 4 a 4时 g x 在 2 2 上的最小值为因此解得 4 a 2 综上所述 实数a的取值范围是 7 a 2 互动探究 本例中 若对一切a 3 3 不等式f x a恒成立 那么实数x的取值范围是什么 解析 不等式f x a即x2 ax 3 a 0 令g a x 1 a x2 3 要使g a 0在 3 3 上恒成立 只需即解得x 0或x 3 拓展提升 恒成立问题的两种解法 1 更换主元法在研究不等式恒成立问题时 如果不等式中含有多个变量 这时选准 主元 往往是解题的关键 即需要确定合适的变量或参数 能使函数关系更加清晰明朗 一般思路为将已知范围的量视为变量 而待求范围的量看作是参数 然后借助函数的单调性或其他方法进行求解 2 分离参数法如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边 那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值 或范围 来得到不等式恒成立时参数的取值范围 一般地 a f x 恒成立时 应有a f x max a f x 恒成立时 应有a f x min 变式备选 若函数f x 的定义域为r 则实数m的取值范围是 解析 依题意mx2 4mx 3 0对一切x r恒成立 当m 0时显然成立 当m 0时应有 16m2 12m 0 解得0 m 综上 实数m的取值范围是 0 答案 0 考向3一元二次不等式的实际应用 典例3 汽车在行驶中 由于惯性的作用 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住 我们称这段距离为 刹车距离 刹车距离是分析事故的一个重要因素 在一个限速为40km h的弯道上 甲 乙两辆汽车相向而行 发现情况不对 同时刹车 但还是相撞了 事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m 乙车的刹车距离略超过10m 又知甲 乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km h 之间分别有如下关系 s甲 0 1x 0 01x2 s乙 0 05x 0 005x2 问 甲 乙两车有无超速现象 思路点拨 由甲 乙两车的实际刹车距离建立关于甲 乙两车车速的不等式 求出两车的实际车速然后判断是否超速 规范解答 由题意知 对于甲车 有0 1x 0 01x2 12 即x2 10 x 1200 0 解得x 30或x10 即x2 10 x 2000 0 解得x 40或x 50 不符合实际意义 舍去 这表明乙车的车速超过40km h 超过规定限速 拓展提升 构建不等式模型解决实际问题的关注点不等式的应用问题常常以函数为背景 多是解决实际生活 生产中的最优化问题等 解题时 要仔细审题 认清题目的条件以及要解决的问题 理清题目中各量之间的关系 建立恰当的不等式模型进行求解 变式训练 某产品生产厂家根据已往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律 每生产产品x 百台 其总成本为g x 万元 其中固定成本为2万元 并且每生产100台的生产成本为1万元 总成本 固定成本 生产成本 销售收入r x 满足假定该产品销售平衡 那么根据上述统计规律 1 要使工厂有盈利 产品数量x应控制在什么范围 2 工厂生产多少台产品时盈利最大 求此时每台产品的售价为多少 解析 1 设厂家纯收入为y万元 由题意g x x 2 y r x g x 令y 0得解得1 x 8 2 故当1 x 8 2时工厂有盈利 2 当0 x 5时 y 0 4x2 3 2x 2 8 0 4 x 4 2 3 6 当x 4时 ymax 3 6 当x 5时 y 8 2 5 3 2 当生产400台产品时盈利最大 此时r 4 0 4 42 4 2 4 0 8 9 6 故每台产品的售价为 240 元 创新体验 不等式 函数 方程的交汇 典例 2012 江苏高考 已知函数f x x2 ax b a b r 的值域为 0 若关于x的不等式f x c的解集为 m m 6 则实数c的值为 思路点拨 规范解答 方法一 由题意 0 即a2 4b 0 所以不等式f x c可转化为x2 ax c 0 由已知可得m m 6为方程x2 ax c 0的两根 则所以c m m 6 m2 6m 9 m2 6m 9 方法二 由题意 0 即a2 4b 0 所以不等式f x 0 且即不等式解集是 于是因此故c 9 答案 9 思考点评 1 方法感悟本题考查了函数 方程 不等式三者之间的内在联系 充分体现了一元二次不等式与一元二次方程根的关系在解题中的应用 即在解答中根据不等式f x c的解集为 m m 6 可得方程f x c的两个根是m m 6 从而可利用一元二次方程根与系数的关系求出c的值 2 技巧提升由于一元二次不等式的解法是通过二次函数 一元二次方程 一元二次不等式三者之间的对应关系来得到的 因此一元二次不等式的解集与相应方程的根有着密切的联系 已知不等式的解集时 就可以得到方程根的情况 例如 如果不等式ax2 bx c0 的解集是 则必有a 0 a 0 且 是方程ax2 bx c 0的两根 由一元二次方程根与系数的关系可得 由此可进一步得到a b c之间的关系 所以利用这种关系可以解决一元二次不等式中的参数求解问题 1 2013 南京模拟 若实数x满足对任意a 0 均有a x2 1 则x的取值范围是 解析 对任意a 0 a x2 1均成立 x2 1 0 1 x 1 答案 x 1 x 1 2 2013 常州模拟 设f x 若f a 3 则实数a的取值范围是 解析 当a 0时 f a 3 得a2 3a 1 3 即a2 3a 4 0 a 4或a4 当a3 得 2a 7 3 a4 答案 a a4 3 2013 连云港模拟 对于任意k 1 1 函数f x x2 k 4 x 2k 4的值恒大于零 则x的取值范围是 解析 任意k 1 1 函数f x x2 k 4 x 2k 4 0恒成立 g k k x 2 x2 4x 4 0恒成立 易知x 2不合题意 故x 2 0 解得x3 答案 1 3 4 2013 苏州模拟 已知集合a x x2 2x 8 0 b x x2 2m 3 x m2 3m 0 m r 1 若a b 2 4 求实数m的值 2 设全集为r 若a b 求实数m的取值范围 解析 1 a 2 4 b m 3 m a b 2 4 m 5 2 b x xm a b m4 m7 1 已知集合p x 4 3x x2 集合m满足 m p m p 则集合m为 解析 由4 3x x2得x2 3x 4 0 解得 1 x 4 即p x 1 x