高考数学 第十五章 第二节 直线、圆和椭圆的参数方程及其应用课件 理 苏教版.ppt

第二节直线 圆和椭圆的参数方程及其应用 1 常见曲线的参数方程 1 直线的参数方程过定点p x0 y0 倾斜角为 的直线l的参数方程为 其中参数t是以定点p x0 y0 为起点 m x y 为终点的有向线段pm的数量 又称为点p与点m间的有向距离 x x0 tcos y y0 tsin t为参数 2 圆的参数方程圆 x x0 2 y y0 2 r2的参数方程为 3 椭圆的参数方程椭圆 a b 0 的参数方程为 x x0 rcos y y0 rsin x acos y bsin 为参数 为参数 2 参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程是曲线的两种不同的表达方式 它们在形式及分析方法上各具特点又互相补充 1 将参数方程化为普通方程将参数方程化为普通方程的关键是消参 在消参时要注意参数的范围对普通方程的影响 消去参数常用的方法有 代入法 平方法等 要结合参数方程的特点灵活消参 2 将普通方程化为参数方程将普通方程化为参数方程 一般有如下思路 f x y 0 f x y 0 t为参数 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线的参数方程和圆的参数方程从形式上看是一样的 但参数不同 2 普通方程化为参数方程 参数方程的形式是惟一的 3 椭圆的参数方程中 参数 表示椭圆上任一点的离心角 解析 1 正确 从形式上相同 但直线的参数为t 圆的参数为 2 错误 不一定惟一 参数不同 所求的参数方程的形式也不同 3 正确 由椭圆参数方程的概念可知是正确的 答案 1 2 3 考向1参数方程与普通方程互化 典例1 在平面直角坐标系xoy中 求过椭圆 思路点拨 将椭圆参数方程化为普通方程后 确定右焦点坐标 再将直线参数方程化成普通方程 确定所求直线的斜率 从而利用点斜式公式求出直线方程 规范解答 椭圆的普通方程为右焦点为 4 0 直线的普通方程为2y x 2 斜率为所求直线方程为 即x 2y 4 0 互动探究 在本题条件下 已知椭圆与已知直线的位置关系如何 解析 从直线的参数方程可知 当t 1时 直线过点 2 2 因故点 2 2 位于椭圆内部 故直线与椭圆相交 拓展提升 1 参数方程与普通方程互化的注意点在参数方程与普通方程互化的过程中 要保持化简过程的同解变形 避免改变变量x y的取值范围而造成错误 2 消除参数的常用方法 1 代入消参法 2 平方法 3 根据参数方程的特征 采用特殊的消参手段 变式备选 把下列参数方程化为普通方程 并指出曲线所表示的图形 解析 图形为一段抛物线弧 2 x 1 y 2或y 2 图形为两条射线 3 x2 y2 3y 0 y 3 图形是一个圆 但是除去点 0 3 考向2参数方程的简单应用 典例2 求直线截得的弦长 思路点拨 先把直线和圆化为普通方程再求弦长 规范解答 设圆的半径为r 直线被圆截得的弦长为l 把直线方程化为普通方程为x y 2 将圆化为普通方程为x2 y2 9 圆心o到直线的距离所以弦长所以直线被圆截得的弦长为 拓展提升 参数法及其解题思路 1 参数法是指在解题过程中 通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量 参数 其作用就是刻画事物的变化状态 揭示变化因素之间的内在联系 2 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数 沟通已知和未知之间的内在联系 利用参数提供的信息 顺利地解答问题 当动点p的坐标x y之间的直接关系不易建立时 可适当地选取中间变量t 并用t表示动点p的坐标x y 从而得到动点轨迹的参数方程消去参数t 便可得到动点p的轨迹的普通方程 但要注意方程的等价性 即由t的范围确定出x y的范围 变式训练 设点p是椭圆2x2 3y2 12上的一个动点 试求x 2y的取值范围 解析 由椭圆的方程2x2 3y2 12 可设x cos y 2sin 代入x 2y 得 其中因为 1 sin 1 故所以x 2y的取值范围是 考向3极坐标方程与参数方程的综合应用 典例3 2012 福建高考 在平面直角坐标系中 以坐标原点o为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知直线l上两点m n的极坐标分别为圆c的参数方程 1 设p为线段mn的中点 求直线op的平面直角坐标方程 2 判断直线l与圆c的位置关系 思路点拨 1 将点m n坐标化为直角坐标后 利用中点坐标公式求点p坐标 再求直线op方程 2 由 1 求直线l方程 同时将圆的参数方程化为普通方程 根据圆心到直线的距离判断位置关系 规范解答 1 由题意知 m n的平面直角坐标分别为 2 0 即 2 0 和从而中点p坐标为直线op方程为 2 由 1 得直线l方程为即x y 2 0 圆c的圆心为半径为2 因圆心到直线l距离为故直线l与圆c相交 互动探究 在例题中 直线op与圆c的位置关系如何 解析 因直线op方程可化为故由可知直线op与圆c相离 拓展提升 极坐标与参数方程综合应用的解题关键有关极坐标与参数方程的综合应用 关键是通过公式 将条件化归到直角坐标系中 再利用解析几何的基本方法求解 变式备选 2012 湖北高考改编 在直角坐标系xoy中 以原点o为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知射线与曲线相交于a b两点 求线段ab的中点的直角坐标 解析 射线可化为y x x 0 曲线可化为y x 2 2 联立解得a b坐标分别为 1 1 和 4 4 从而中点的直角坐标为 1 设直线l1的参数方程为直线l2的方程为y 3x 4 求l1与l2间的距离 解析 将参数方程化为普通方程为3x y 2 0 由两平行线之间的距离公式可知 所求距离为 2 已知两曲线参数方程分别为和求它们的交点坐标 解析 0 消去参数后的普通方程为消去参数后的普通方程为联立两个曲线的普通方程得x 5 舍 或x 1 所以所以它们的交点坐标为 3 过点m 2 1 作曲线 为参数 的弦 使m为弦的中点 求此弦所在直线的方程 解析 由于曲线表示的是圆心在原点o 半径为r 4的圆 所以过点m的弦与线段om垂直 弦所在直线的斜率是 2 故所求直线方程为y 1 2 x 2 即2x y 5 0 4 2013 淮安模拟 在曲线c1 为参数 0 2 上求一点 使它到直线c2 t为参数 的距离最小 并求出该点坐标和最小距离 解析 直线c2化成普通方程是设所求的点为p 1 cos sin 则p到直线c2的距离当时 即时 d取最小值1 此时 点p的坐标是 5 以直角坐标系的原点为极点 x轴正半轴为极轴 并在两种坐标系中取相同的长度单位 已知直线l的极坐标方程为圆c的参数方程为 为参数 求直线l被圆c截得的弦长 解析 由得 点c到直线的距离为 直线l被圆c截得的弦长为 6 2013 玉溪模拟 在直角坐标系xoy中 直线l的方程为x y 4 0 曲线c的参数方程为 为参数 1 已知在极坐标 与直角坐标系xoy取相同的长度单位 且以原点o为极点 以x轴正半轴为极轴 中 点p的极坐标为判断点p与直线l的位置关系 2 设点q是曲线c上的一个动点 求它到直线l的距离的最小值 解析 1 把极坐标系下的点化为直角坐标 得p 0 4 因为点p的直角坐标 0 4 满足直线l的方程x y 4 0 所以点p在直线l上 2 因为点q在曲线c上 故可设点q的坐标为从而点q到直线l的距离为由此得 当时 d取得最小值 且最小值为 7 2013 南通模拟 以直角坐标系的原点o为极点 x轴的正半轴为极轴 已知点p的直角坐标为 1 5 点m的极坐标为若直线l过点p 且倾斜角为圆c以m为圆心 4为半径 1 求直线l关于t的参数方程和圆c的极坐标方程 2 试判定直线l和圆c的位置关系 解析 1 直线l的参数方程为圆c的极坐标方程为 8sin 2 因为对应的直角坐标为 0 4 直线l的普通方程为 圆心到直线l的距离所以直线l与圆c相离 8 在平面直角坐标系xoy中 曲线c1的参数方程为 为参数 以坐标原点o为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 得曲线c2的极坐标方程为 2cos 4sin 0 1 化曲线c1 c2的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 2 设曲线c1与x轴的一个交点的坐标为p m 0 m 0 经过点p作曲线c1的切线l 求切线l的方程 解析 1 曲线c1 曲线c2