高考数学 第十二章 第五节 二项分布、随机变量的均值和方差课件 理 苏教版.ppt

第五节二项分布 随机变量的均值和方差 1 n次独立重复试验由n次试验构成 且每次试验相互独立完成 每次试验的结果仅有两种对立的状态 即a与 每次试验中p a p 0 这样的试验称为n次独立重复试验 也称为伯努利试验 n次独立重复试验中 事件a恰好发生k 0 k n 次的概率为pn k 2 二项分布若随机变量x的分布列为p x k 其中0 p 1 p q 1 k 0 1 2 n 则称x服从参数为n p的二项分布 记作 x b n p 3 离散型随机变量的均值与方差 1 离散型随机变量x的概率分布表 2 离散型随机变量x的均值与方差 平均水平 平均偏离程度 4 两点分布与二项分布的均值和方差 1 若随机变量x服从两点分布 则e x v x 2 若随机变量x服从参数为n p的二项分布 即x b n p 则e x v x p 1 p np 1 p np p 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 期望值就是算术平均数 与概率无关 2 随机变量的均值是常数 样本的平均值是随机变量 它不确定 3 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度 方差或标准差越小 则偏离变量平均程度越小 4 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况 因此它们是一回事 解析 1 错误 期望是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均值 反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 正确 由于随机变量的取值是确定值 而每一个随机变量的概率也是确定的 因此随机变量的均值是定值 即为常数 而样本数据随着抽样的次数不同而不同 因此其平均值也不相同 3 正确 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度 方差或标准差越小 则偏离变量平均程度越小 方差或标准差越大 则偏离变量平均程度越大 4 错误 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况 均值反映了平均水平 而方差则反映它们与平均值的偏离情况 答案 1 2 3 4 考向1独立重复试验与二项分布 典例1 设不等式组确定的平面区域为u 不等式组确定的平面区域为v 1 定义坐标为整数的点为 整点 在区域u内任取3个整点 求这些整点中恰有2个整点在区域v内的概率 2 在区域u内任取3个点 不一定为 整点 记此3个点在区域v内的个数为x 求x的概率分布 思路点拨 先找出各个区域内的整数点 然后求概率 任取3个点可转化为3次独立重复试验 用公式即可解决 规范解答 1 如图 由题意 区域u内共有15个整点 区域v内共有9个整点 设所取3个整点中恰有2个整点在区域v内的概率为p v 则p v 2 区域u的面积为8 区域v的面积为4 在区域u内任取一点 该点在区域v内的概率为x的取值为0 1 2 3 x的概率分布表为 拓展提升 1 求独立重复试验的概率步骤 1 判断 依据n次独立重复试验的特征及条件 判断所给试验是否为独立重复试验 2 分拆 判断所求事件是否需要分拆 3 计算 就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解 2 二项分布满足的条件 1 每次试验中事件发生的概率是相同的 2 各次试验中的事件是相互独立的 3 每次试验只有两种结果 事件要么发生 要么不发生 4 随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数 变式训练 设随机变量 b 2 p b 4 p 若p 1 求p 2 的值 解析 因为随机变量 b 2 p b 4 p 又p 1 1 p 0 1 1 p 2 解得p 所以 b 4 则p 2 1 p 0 p 1 考向2离散型随机变量的均值与方差 典例2 高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中 已知第一小组与第二小组各有六位同学 每位同学都只选了一个科目 第一小组选 数学运算 的有1人 选 数学解题思想与方法 的有5人 第二小组选 数学运算 的有2人 选 数学解题思想与方法 的有4人 现从第一 第二两小组各任选2人分析选课情况 1 求选出的4人均选 数学解题思想与方法 的概率 2 设 为选出的4个人中选 数学运算 的人数 求 的概率分布和数学期望 思路点拨 1 可由4人分别来自两个不同的小组 因此 从第一 二小组分别选两人是相互独立的事件 即可求解 2 确定随机变量 的取值是关键的一步 然后再计算各个概率值即得概率分布 最后计算数学期望 规范解答 1 设 从第一小组选出的2人选 数学解题思想与方法 为事件a 从第二小组选出的2人选 数学解题思想与方法 为事件b 由于事件a b相互独立 且所以选出的4人均选 数学解题思想与方法 的概率为 2 由题意知 可能的取值为0 1 2 3 得p 0 的概率分布表为 的数学期望e 拓展提升 求离散型随机变量 的均值与方差的步骤 1 理解 的意义 写出 可能的全部值 2 求 取每个值的概率 3 写出 的概率分布表 4 由均值的定义求e 5 由方差的定义求v 变式训练 在一次电视节目的抢答中 题型为判断题 只有 对 和 错 两种结果 其中某歌唱家判断正确的概率为p 判断错误的概率为q 若判断正确则加1分 判断错误则减1分 现记 该歌唱家答完n题后总得分为sn 1 当p q 时 记 s3 求 的概率分布 数学期望及方差 2 当p q 时 求s8 2且si 0 i 1 2 3 4 的概率 解析 1 s3 的取值为1 3 p q 故所以 的概率分布表为 2 当s8 2时 即答完8题后 回答正确的题数为5题 回答错误的题数是3题 又已知si 0 i 1 2 3 4 若第一题和第二题回答正确 则其余6题可任意答对3题 若第一题和第三题回答正确 第二题回答错误 则后5题可任意答对3题 此时的概率为 考向3与二项分布有关的期望与方差 典例3 2012 天津高考 现有4个人去参加某娱乐活动 该活动有甲 乙两个游戏可供参加者选择 为增加趣味性 约定 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏 掷出点数为1或2的人去参加甲游戏 掷出点数大于2的人去参加乙游戏 1 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 2 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率 3 用x y分别表示这4个人中去参加甲 乙游戏的人数 记 x y 求随机变量 的概率分布与数学期望e 思路点拨 先确定随机变量 再判断其是否服从二项分布 1 依据公式直接得出结论 2 先分析该事件的构成 然后解答得出结论 3 先确定随机变量的取值 再分别求出概率 最后求出概率分布及期望 规范解答 依题意 这4个人中 每个人去参加甲游戏的概率为 去参加乙游戏的概率为 设 这4个人中恰有i人去参加甲游戏 为事件ai i 0 1 2 3 4 则 1 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率p a2 2 设 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数 为事件b 则b a3 a4 由于a3与a4互斥 故所以 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 3 的所有可能取值为0 2 4 由于a1与a3互斥 a0与a4互斥 故所以 的概率分布表是随机变量 的数学期望e 拓展提升 与二项分布有关的期望 方差的求法 1 求随机变量 的期望与方差时 可首先分析 是否服从二项分布 如果 b n p 则用公式e np v np 1 p 求解 可大大减少计算量 2 有些随机变量虽不服从二项分布 但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布 这时 可以综合应用e a b ae b以及e np求出e a b 同样还可求出v a b 提醒 e a b ae b 但注意v a b av b v a b av 变式训练 某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查 若生活习惯符合低碳观念的称为 低碳族 否则称为 非低碳族 这二族人数占各自小区总人数的比例p数据如下 1 如果甲 乙来自a小区 丙 丁来自b小区 求这4人中恰有2人是 低碳族 的概率 2 a小区经过大力宣传 每周 非低碳族 中有20 的人加入到 低碳族 的行列 如果2周后随机地从a小区中任选25人 记 表示25人中 低碳族 人数 求e 解析 1 记这4人中恰有2人是 低碳族 为事件a 2 设a小区有a人 2周后1人是 非低碳族 的概率2周后1人是 低碳族 的概率依题意 所以e 考向4均值与方差的实际应用 典例4 一个盒子中装有大小相同的10个小球 其中2个红球 4个黑球 4个白球 规定 一次摸出3个球 如果这3个球是同色的 就奖励10元 否则罚款2元 1 若某人摸一次球 求他获奖励的概率 2 若有10人参加摸球游戏 每人摸一次 摸后放回 记随机变量 为获奖励的人数 求p 1 及这10人所得钱数的期望 结果用分数表示 参考数据 思路点拨 1 本题为等可能事件的概率 属于古典概型 2 显然随机变量服从二项分布 运用二项分布的知识解决即可 规范解答 1 由已知得 摸一次球获奖励的概率为p 2 由题意 则p 1 设 为一人在一局中的输赢 则 互动探究 若把本例中的规定的内容换为 一次摸出2个球 如果这2个球是同色的 就奖励10元 否则罚款5元 再计算这10人所得钱数的期望 解析 由题意可知 摸一次球得奖的概率设 为一人在一局中的输赢 拓展提升 均值与方差的实际应用 1 v x 表示随机变量x对e x 的平均偏离程度 v x 越大表明平均偏离程度越大 说明x的取值越分散 反之 v x 越小 x的取值越集中在e x 附近 统计中常用来描述x的分散程度 2 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了随机变量稳定于均值的程度 它们从整体和全局上刻画了随机变量 是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据 一般先比较均值 若均值相同 再用方差来决定 变式备选 某保险公司新开设了一项保险业务 若在一年内事件e发生 该公司要赔偿a元 设一年内事件e发生的概率为p 为使公司收益的期望值等于a的10 公司应要求投保人交的保险金为 元 解析 设要求投保人交x元 公司的收益额 作为随机变量 则p x 1 p p x a p 故e x 1 p x a p x ap x ap 0 1a x 0 1 p a 答案 0 1 p a 1 2012 四川高考 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 a和b 系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p 1 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 求p的值 2 求系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率 解析 1 设 两个系统均发生故障 为事件c 那么1 解得 2 设 系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数 为事件d 那么p d 所以系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为 2 2013 扬州模拟 袋中有4个红球 3个黑球 从袋中随机地抽取4个球 设取到一个红球得2分 取到一个黑球得1分 1 求得分x不大于6的概率 2 求得分x的数学期望 解析 1 2 得分x的所有可能值为 5 6 7 8 得分x的概率分布表为e x 3 2013 无锡模拟 甲 乙两名乒乓球运动员进行比赛 采用五局三胜制 若每一局比赛甲获胜的概率为 乙获胜的概率为 现已完成一局比赛 乙暂时以1 0领先 1 求甲获得这次比赛胜利的概率 2 设比赛结束时比赛的局数为x 求随机变量x的概率分布和数学期望 解析 1 设甲获胜为事件a 则甲获胜包括甲以3 1获胜 记为事件a1 和甲以3 2获胜 记为事件a2 且事件a1 a2为互斥事件 所以甲获得这次比赛胜利的概率为 2 随机变量x的所有可能取值为3 4 5 所以 随机变量x的概率分布表为 随机变量x的数学期望为e x 4 2013 宿迁模拟 某商场在节日期间搞有奖促销活动 凡购买一定数额的商品 就可以摇奖一次 摇奖办法是在摇奖机中装有大小 质地完全一样且分别标有数字1 9的九个小球 一次摇奖将摇出三个小球 规定 摇出三个小球号码是 三连号 如1 2 3 的获一等奖 奖1000元购物券 若三个小球号码均是 奇数 或均是 偶数 的获二等奖 奖500元购物券 若三个小球号码中有一个是 8 的获三等奖 奖200元购 物券 其他情形则获参与奖 奖50元购物券 所有获奖等级均以最高奖项兑现 且不重复兑奖 记x表示一次摇奖获得的购物券金额 1 求摇奖一次获得一等奖的概率 2 求x的概率分布和数学期望 解析 1 记 摇奖一次获得一等奖 为事件a 连号的可能情况有 123 234 345 456 567 678 789共7种情况 所以p a 所以摇奖一次获得一等奖的概率为 2 x的概率分布表如下 x的数学期望是e x 所以x的数学期望是元 5 某商场经销某商品 根据以往资料统计 顾客采用的付款期数 的概率分布表为 商场经销一件该商品 采用1期付款 其利润为200元 分2期或3期付款 其利润为250元 分4期或5期付款 其利润为300元 表示经销一件该商品的利润 1 求事件a 购买该商品的3位顾客中 至少有1位采用1期付款 的概率p a 2 求 的概率分布及数学期望e 解析 1 由a表示事件 购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款 知表示事件 购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款 则 2 的可能取值为200元 250元 300元 p 200 p 1 0 4 p 250 p 2 p 3 0 2 0 2 0 4 p 300 1 p 200 p 250 1 0 4 0 4 0 2 的概率分布表为e 200 0 4 250 0 4 300 0 2 240 6 2013 南京模拟 甲 乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛 每人回答一个问题 答对得10分 答错得0分 假设甲班三名同学答对的概率都是 乙班三名同学答对的概率分别是且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响 1 用x表示甲班总得分 求随机变量x的概率分布和数学期望 2 记 两班得分之和是30分 为事件a 甲班得分大于乙班得分 为事件b 求事件a b同时发生的概率 解析 1 随机变量x的可能取值是0 10 20 30 且所以x的概率分布表为 随机变量x的数学期望e x 2 甲班得20分 且乙班得10分的概率是 甲班得30分 且乙班得0分的概率是 所以事件a b同时发生的概率为 方法技巧 求离散型随机变量均值与方差的基本方法 1 定义法 已知随机变量的概率分布求它的均值 方差和标准差 可直接按定义 公式 求解 2 性质法 已知随机变量 的均值与方差 求 的线性函数 a b的均值与方差 可直接利用均值 方差的性质求解 3 公式法 如能分析所给随机变量是服从常用的分布 如两点分布 二项分布等 可直接利用它们的均值 方差公式求解 7 某商店储存的50个灯泡中 甲厂生产的灯泡占60 乙厂生产的灯泡占40 甲厂生产的灯泡的一等品率是90 乙厂生产的灯泡的一等品率是80 1 若从这50个灯泡中随机抽取出1个灯泡 每个灯泡被取出的机会均等 则它是甲厂生产的一等品的概率是多少 2 若从这50个灯泡中随机抽取出2个灯泡 每个灯泡被取出的机会均等 这2个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为 求e 的值 解析 1 方法一 设事件a表示 甲厂生产的灯泡 事件b表示 灯泡为一等品 依题意有p a 0 6 p b a 0 9 根据条件概率计算公式得p ab p a p b a 0 6 0 9 0 54 方法二 该商店储存的50个灯泡中 甲厂生产的灯泡有50 60 30 个 乙厂生产的灯泡有50 40 20 个 其中是甲厂生产的一等品有30 90 27 个 故从这50个灯泡中随机抽取出1个灯泡 它是甲厂生产的一等品的概率为 2 依题意 的取值为0 1 2 的概率分布表为 e 变式备选 工人在包装某产品时不小心将2件不合格的产品一起放进了一个箱子里 此时该箱子中共有外观完全相同的6件产品 只有将产品逐一打开检验才能确定