高考数学 第六章 第三节 基本不等式及其最值课件 理 苏教版.ppt

第三节基本不等式及其最值 1 基本不等式 1 基本不等式的定义 形式 等号成立的条件 当且仅当 2 算术平均数与几何平均数 对于正数a b 其算术平均数是 其几何平均数为 基本不等式可叙述为 两个正数的 不小于它们的 a b 算术平均数 几何平均数 2 利用基本不等式求最值问题已知a 0 b 0 则 1 和a b一定时 积ab有 积ab一定时 和a b有 2 取等号的条件 当且仅当a b时 最大值 最小值 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 公式对于a b取任何实数都是正确的 2 若两个正数的积是定值p 则这两个正数的和一定有最小值 3 对于实数x y 若x y s 和为定值 则当x y时 积xy取得最大值 4 基本不等式从数列的角度可叙述为 两个非负数的等差中项不小于它们的等比中项 解析 1 错误 公式对于任意正数a b成立 若a b为负数 此时不等式就不成立 2 错误 不一定取到最小值 要看这两个正数能否相等 例如式子因cosx 时 cosx 2不成立 所以中的等号不成立 3 正确 因为xy 2对任意实数x y恒成立 当且仅当x y时取等号 4 错误 由于是从数列的角度进行叙述 对于等比数列各项不能为0 非负数是大于等于0的数 答案 1 2 3 4 1 若x 0 y 0 且x y 则xy的最大值为 解析 由基本不等式可得xy 2 2 当且仅当x y 时 xy取最大值 答案 2 函数f x 3x 3 x的最小值是 解析 由于3x 0 3 x 0 所以f x 3x 3 x 3x 2 当且仅当3x 3 x 即x 0时函数取得最小值2 答案 2 3 已知m 0 n 0且mn 81 则m n的最小值为 解析 m 0 n 0 mn 81 9 m n 18 当且仅当m n 9时等号成立 故m n的最小值为18 答案 18 4 已知x 0 y 0 且x 2y 1 则的最小值为 解析 由x y 0 x 2y 1得等号成立的条件是 答案 考向1利用基本不等式判断命题真假 典例1 1 若a b r 且ab 0 则下列不等式中 恒成立的是 a2 b2 2ab a b 2 2012 福建高考改编 下列不等式一定成立的是 lg x2 lgx x 0 sinx 2 x k k z x2 1 2 x 1 x r 思路点拨 运用基本不等式和不等式的性质对每个选项进行分析判断 注意基本不等式应用的条件和等号成立的条件是否满足 规范解答 1 对于 a2 b2 2ab 所以 错 对于 虽然ab 0 只能说明a b同号 若a b都小于0时 不对 ab 0 故 正确 答案 2 由于x2 x 所以lg x2 lg lgx 当且仅当x2 即x 时取等号 故 错误 当sinx 0时 不可能有sinx 2 故 错误 由基本不等式可得x2 1 x 2 12 2 x 故 正确 由于x2 0 x2 1 1 所以 1 故 错误 答案 拓展提升 基本不等式的变形在基本不等式及其一些变形形式中 可以将字母a b换成其他的数 字母 代数式等 只要这些数 字母 代数式符合不等式成立的条件 那么得到的不等式也是成立的 由此可以得到一些常用的不等式 例如 当x 0时 当a 1时 lga loga10 2 当ab 0时 变式训练 2013 南通模拟 给出下列结论 若x 0 则x 若a 0 b 0 则 当x 0 时 sinx 的最小值为6 若a b 0 且ab 2 则 1 其中正确的结论的序号是 解析 对于 只有当x 0时 才有x 4成立 故 错误 对于 虽然有a 0 b 0 但lga和lgb不一定都是正数 因此不一定有 故 错误 对于 虽然当x 0 时 sinx 0 所以sinx 6 但其中的等号成立的条件是sinx 即sinx 3 这显然是不可能的 因此不能说sinx 的最小值为6 故 错误 对于 由于 当且仅当a b 时取等号 所以 正确 答案 考向2利用基本不等式求最值 典例2 1 2013 南京模拟 若x0 则函数y x 1 的最小值等于 3 已知正数a b满足 3 则a b的取值范围是 思路点拨 1 因为x 0 所以可对 x 利用基本不等式求最小值 2 将函数解析式变形为y x 1 2 再对x 1 运用基本不等式求最值 3 一种思路是根据 3 将a b中的b用a表示 然后用基本不等式求范围 另一种思路是对 3变形 获得a b与ab的关系 然后利用解不等式消去ab建立a b的不等式求解 规范解答 1 由于x 0 所以f x 1 x 1 x 1 9 当且仅当 x 即x 4时 函数取最小值9 答案 9 2 y x 1 x 1 2 2 当且仅当x 1 即x 1时取等号 所以函数的最小值等于2 答案 2 3 方法一 由 3得a b 3ab 所以b 由于a 0 b 0 可得a 于是当且仅当 即a 时取等号 所以a b的取值范围是 方法二 由 3得a b 3ab 由于ab 2 所以a b 3 2 即4 a b 3 a b 2 所以a b 即a b的取值范围是 答案 互动探究 本例 3 中 条件不变 求ab的取值范围 解析 由于a b 所以3ab 即9 ab 2 4ab 所以ab 即ab的取值范围是 拓展提升 两个正数的和与积的转化基本不等式具有将 和式 转化为 积式 和将 积式 转化为 和式 的放缩功能 因此可以用在一些不等式的证明中 还可以用于求代数式的最值或取值范围 如果条件等式中 同时含有两个变量的和与积的形式 就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化 然后通过解不等式进行求解 变式备选 1 已知x 0 y 0 x 2y 2xy 8 则x 2y的最小值是 解析 由于x 0 y 0 所以2xy x 2y 2 而2xy 8 x 2y 于是有8 x 2y 2 令x 2y t 则t2 4t 32 0 解得t 4或t 8 舍去 因此x 2y 4 即x 2y的最小值是4 答案 4 2 函数f x sinx 0 x 的最小值是 解析 因为0 x 所以0 sinx 1 因此由基本不等式得 f x sinx 1 当且仅当sinx sinx 即x 或x 时取到等号 所以函数的最小值等于1 答案 1 考向3用基本不等式求参数的值及参数的取值范围 典例3 1 2013 南通模拟 对一切实数x 不等式x2 a x 1 0恒成立 则实数a的取值范围是 2 2013 淮安模拟 已知函数f x x 1 当a 时 求函数f x 的最小值 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 求f x 的最小值 思路点拨 1 把a x 这一项移至右边 两边除以 x 分离出参数a 利用基本不等式求解 但要注意讨论 x 0与 x 0两种情况 2 代入a的值 利用函数单调性求解 将恒成立问题转化为分离参数后求最值问题 对a进行分类讨论求解 规范解答 1 由x2 a x 1 0对x r恒成立知当 x 0时 a r 当 x 0时 x2 1 a x a x 又 x 2 当且仅当x 1时取等号 a 2 a 2 故a的取值范围是 2 答案 2 2 当a 时 f x x 2 f x 在区间 1 上为增函数 f x 在区间 1 上的最小值为f 1 在区间 1 上 f x 0恒成立 x2 2x a 0恒成立 即a x2 2x x 1 恒成立 函数y x2 2x x 1 的最大值为 3 a 3 f x x 2 x 1 当a 0时 函数f x 递增 故当x 1时 f x min 3 a 当0 a 1时 函数f x 递增 故当x 1时 f x min 3 a 当a 1时 f x x 2 当且仅当x 时取等号 f x min 互动探究 在本例 2 中把 f x x 1 改为 f x x 1 试求f x 的最小值 解析 f x x 1 f x 4 4 当且仅当x 1 即x 1时取等号 故f x min 拓展提升 1 分离常数法求分式型的函数最值题 常采用拆项使分式的分子为常数 有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式 该分式的分子为常数 的形式 2 含参数的基本不等式的解题方法含参数的基本不等式是常见题型 应用时一般需要分类讨论 即对参数的取值进行分类 满足应用基本不等式的条件 则应用基本不等式 不满足时往往需要利用函数的单调性求解 提醒 分离常数法在分离时是否要讨论 变式备选 设a b c为正实数 若 a b c k恒成立 则k的最大值是 解析 a b c为正实数 a b c 等号当且仅当时成立 又 a b c k恒成立 k 4 答案 4 易错误区 忽视基本不等式成立的条件致误 典例 2012 浙江高考改编 若正数x y满足x 3y 5xy 则3x 4y的最小值是 误区警示 本题在求解中容易出现的错误是 对x 3y运用基本不等式得到的范围 再对3x 4y运用基本不等式 然后通过不等式的传递性得到3x 4y的最值 忽视了基本不等式中等号成立的条件 没有注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致 从而导致错误 规范解答 由x 3y 5xy可得所以3x 4y 3x 4y 当且仅当x 1 y 时取等号 故3x 4y的最小值是5 答案 5 思考点评 1 连续运用基本不等式应注意等号成立的条件 连续使用基本不等式时取等号的条件很严格 要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致 因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式 若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等 2 妙用 1 的代换求代数式的最值 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时 通常的解决办法是变量替换或常值 1 的替换 即由已知条件得到某个式子的值为常数 然后将欲求最值的代数式乘上常数 再对代数式进行变形整理 从而可利用基本不等式求最值 1 2013 盐城模拟 已知a b t a 0 b 0 t为常数 且ab的最大值为2 则t 解析 ab 2 2 a 0 b 0 2 2即t2 8 故t 答案 2 2013 常熟模拟 设x y 0 且xy x y 1 则x y的取值范围是 解析 x y 0 xy 2 1 xy x y 2 x y x y 2 答案 2 3 2013 徐州模拟 已知m是 abc内的一点 且 bac 30 若 mbc mca和 mab的面积分别为 x y 则的最小值是 解析 由已知得 bccos bac bc 4 故s abc x y bcsin bac 1 x y 而 2 5 2 5 18 答案 18 4 2013 淮安模拟 小张年初支出50万元购买一辆大货车 第一年因缴纳各种费用需支出6万元 从第二年起 每年都比上一年增加支出2万元 假定该车每年的运输收入均为25万元 小张在该车运输累计收入超过总支出后 考虑将大货车作为二手车出售 若该车在第x年年底出售 其销售收入为 25 x 万元 国家规定大货车的报废年限为10年 1 大货车运输到第几年年底 该车运输累计收入超过总支出 2 在第几年年底将大货车出售 能使小张获得的年平均利润最大 利润 累计收入 销售收入 总支出 解析 1 设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元 则y 25x 6x x x 1 50 00 解得10 x 10 而2 10 3 故从第3年开始运输累计收入超过总支出 2 因为利润 累计收入 销售收入 总支出 所以销售二手车后 小张的年平均利润为 y 25 x x2 19x 25 19 x 而19 x 19 9 当且仅当x 5时等号成立 答 小张应当在第5年将大货车出售 才能使年平均利润最大 1 下列结论中正确的是 若a 0 则 a 1 1 2 若x 0 则lnx 2 若a b 1 则a2 b2 若a b 1 则a2 b2 解析 当a 0时 有 a 1 1 4 故 错误 当x 0时 不一定有lnx 0 故lnx 2不一定成立 错误 当a b 1时 ab 2 故a2 b2 a b 2 2ab