1月11-15号7班作业.doc

1月11号1（本小题满分10分）已知函数是的导函数 （1）求函数的最大值和最小正周期； （2）若，求的值。2（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且对于任意的，恒又， （1）求证数列是等比数列； （2）设，试判断数列的单调性，并求数列的最大项。【选作】3（本小题满分14分）设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.（I） 当a=0时，f(x)h(x)在（1,+）上恒成立，求实数m的取值范围;（II） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;（III） 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。1月11号答案1（本小题满分12分）解：（1） 当时， 最小正周期为 （2） 2（本小题满分12分）解：（1）当时，得 当时， 两式相减得： ， 是以为首项，2为公比的等比数列。 （2）得 ， 数列单调递减。 时数列的最大项为3.（1）由a=0,f(x)h(x)可得-mlnx-x即 1分记，则f(x)h(x)在(1,+)上恒成立等价于.求得 2分当时;当时， 3分故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故. 4分（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在1,3上恰有两个相异实根。5分令g(x)=x-2lnx,则 6分当时，,当时，g(x)在1,2上是单调递减函数，在上是单调递增函数。故 8分又g(1)=1,g(3)=3-2ln3g(1)g(3),只需g(2)0，解得x或xb0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F。（I） 若圆M与y轴相交于A、B两点，且ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程;（II） 若点F（1,0），设过点F的直线l交椭圆于C、D两点，若直线l绕点F任意转动时恒有|OC|2+|OD|21,恒有7分当直线CD不与x轴重合时，设直线CD的方程为x=my+1，代入整理得8分恒有，恒为钝角，则=x1x2+y1y200对mR恒成立，即对mR恒成立。当mR时，的最小值为0，0,b0, ab2,即a0.解得或，即。由可知，a的取值范围是(,+) 12分1月15号1（本小题满分12分）已知函数，直线与函数图象相切.（）求直线的斜率的取值范围；（）设函数，已知函数的图象经过点，求函数的极值.2. （本小题满分14分）已知两点，点为坐标平面内的动点，且满足.()求点的轨迹的方程;()设过点的直线斜率为，且与曲线相交于点、，若、两点只在第二象限内运动，线段的垂直平分线交轴于点，求点横坐标的取值范围.【选作】3（本小题满分14分）已知椭圆的方程为 ，过其左焦点，斜率为1的直线交椭圆于两点 （1）若与（3，1）共线，求椭圆C的方程； （2）已知直线：，在上求一点，使以椭圆的焦点为焦点且过点 的双曲线的实轴最长，求点的坐标和此双曲线的方程。1月15号答案1（本小题满分12分）解：（）设切点坐标为， 2分则4分根据题意知：，即,所以又，则,即所以6分（）显然的定义域为7分则8分又因为函数的图象经过点,代入求得：,则10分由此可知：当时，有，此时为单调增函数；当时，有，此时为单调减函数；所以在区间上只有极大值即12分2. （本小题满分14分）解:()设点，根据题意则有：代入得：3分整理得点的轨迹的方程5分 ()设由题意得:的方程为(显然)与联立消元得：7分则有：因为直线交轨迹于两点，则，再由，则，故8分可求得线段中点的坐标为所以线段的垂直平分线方程为10分令得点横坐标为12分所以点横坐标的取值范围为14分3（1）将直线的方程为：代入，可得：；令则 -2分由，与=（3，1）共线，得，即，； - 4分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又，,所以椭圆C的方程为;-6分 （2）椭圆的右焦点为，直线的方程为：，因为在双曲线上，要双曲线的实轴最长，只须最大， - 8分设关于直线的对称点为，则可求（，），则直