浅谈介值定理应用的体会.doc

例题1.设f(x) 在 a,b 上 连续 ,ax 1 x 2 x n 0).2. 最值定理设f(x) 在 a, b 上连续,则m f(x) M ,其中,m,M 分别为f(x) 在 a, b 上的最小值与最大值.3. 介值定理设f(x) 在 a, b 上连续,则当 m （数） M 时, a, b ,使得f( ) =（数） .4. 零点定理设f(x) 在 a, b 上连续,则当f(a)f( b) 0时, (a, b) ,使得f( ) =0 是的，我从这个条件1，我可以推出可以应用以上的四条定理. 那么题目还有其他条件吗？看起来似乎没有了，其实我们要证明的东西，也是辅助条件，那么我们来解读下要证的条件在 a,b 内至少有一点,，要证闭区间，思来想去能用必区间的中值定理有几个呢？有两个一个是介值定理，一个积分中值定理一般形式.3. 介值定理设f(x) 在 a, b 上连续,则当 m （数） M 时, a, b ,使得f( ) =（数） . 显然这个题目没有积分中值定理，所以优先排除.暂且不说是否用介值定理，我们继续看题目还有条件吗？发现了，确实还有条件.f() =f(x 1 )+f(x 2 )+ +f(x n )/n惊喜的发现f(x 1 )+f(x 2 )+ +f(x n )/n它是个数！结合三个红色部分，于是惊喜的发现锁定我们要采用的是函数的有界性定理.只有它是证明在闭区间存在一个数使得函数等于一个数.（这不就介值定理的应用吗？要证介值定理，常要用最值定理.）当拿到一个题目没有思路的时候，应该从它的已知条件，去一步步分解，找到命题人的思路，而不能单单的套题型，当然有些题目就是单纯的要我们去套题型.同样分析这个题目，题目这次给出的条件有：1. f(x)在0 1上一阶连续导数，2. f(0)=0，3.证明 闭区间存在一点似的一阶导数等于一个数 那么由这些条件可以分析出那些东西？ 条件1：f(x)在0 1上一阶连续导数，可以推出： f(x)满足有界，最值，介值四条定理（显然这个题目不是用它） 一阶导数也满足上面四条定理 条件2：没什么解读的 条件3：如上题的解析，似乎在暗示介值定理，为什么这么说呢？在此我们先来看介值定理是怎么说的？ 一步步分解已知，从条件和结论双方慢慢的去靠拢，要理解题目解法和知识点背后的框架，这样才能让你的思路清晰.当然要及时回顾，不然就如我般会忘得一干二净.这么看很抽象，下面用经典的三段式来分析下 1.f(x)在a,b上连续 （题目给出的套话） 2. m M（关键是证明的这部分，证明这个数在最大值与最小值之间） 3. a, b ,使得f( ) = .（要证明的结论结论）因此要用介值定理的话，关键是证明第2部分的条件成立与否？在看这个题目一阶导数函数本质还是个函数，而这个201f(x)部分本质是个数，因此从要证明的就是 201f(x)这部分在最大值最小值之间. 这个题目的本质还是介值定理的应用，因为它证明还是在闭区间存在一个数使得函数等于一个数.（这不就介值定理的应用吗？要证介值定理，常要用最值定理.） 用最值定理去证明这个数在最大值最小值之间. 由三段论知道，我们这个题目的关键在于证明201f(x)dx在f(x)最大与最小值之间.如何来证呢？解题：（首先由）f(x)在0,1连续，故mfxM（原理连续函数的有界性） （如何联系f(x)与 f(x)可以用拉格朗日中值定理，题目也给出了一个点，这也是暗示运用中值定理） fx-f0=fx-0,(0x)这一部分是命题出来的技巧.为什么后面说. fx=fx, 这样函数和导函数的联系就建立起来了，那么如何建立起和函数的原函数的联系呢？用积分！一积分发现，01fxdx=01fxdx, 接下来要证明201f(x)dx在f(x)的最大与最小值之间.实质就是证明01fxdx2在f(x)的最大与最小值之间，在此就运用了f(x)的有界性去放大缩小证明易证，见答案. 对比例题7.4和例题7.5发下存在这样一个命题套路，“证明在闭区间在存在一个数，使得一个函数等于数（这个数等于这个函数的原函数的积分）”这种题目比第一个题单纯的用连续函数的有界性多了一步搭桥.但是它的套路是先建立fx与f(x)的关系，将f(x)转换为了fx，然后利用fx的有界性再去“要证的那个数”在最大最小值之间，从而运用介值定理. 写了这么多，这里面主要想告诉你，如何去提炼已知条件？如何建立关系？以及一个真题的套路问题.理清楚这些之间可以怎么来，如何去的关系.框架：1:比如拉格朗日定理是连接函数值与导函数之间的一座桥梁,所以,对于数轴上相邻二者之间都可以使用.2: 形式上不要局限,只要条件符合,f (x) ,f (x ),f(x) ,f(t)d t相邻之间皆可使用定理.3：题中出现积分与导数之间的等式或者不等式,一般来说,需要用f(x) 在某区间上使用定理,建立起它们之间的联系中值题目要熟悉定理，总结常见的经验.要熟悉十个定理运用的条件与结论，注意事项，常见的中值题目的题型以及去理解其背后的实质，借助题型来巩固知识点，而不拘泥于题型的本身. 比如：泰勒公式展开后三个运算，相加相减各自处理；上面四种函数之间的联系；题目给出了一个具体的点，一阶二阶常用拉氏定理；比如要用介值常