高考数学 第二章 第九节 导数及其运算课件 理 苏教版.ppt

第九节导数及其运算 1 导数的定义及其几何意义 1 定义 设函数y f x 在区间 a b 上有定义 x0 a b 当 x无限趋近于0时 比值 无限趋近于一个常数a 则称f x 在x x0处可导 并称常数a为函数f x 在x x0处的导数 记作f x0 2 导数的几何意义 函数y f x 在x x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点 处的切线的斜率 x0 f x0 2 基本初等函数的求导公式 0 x 1 cosx sinx ex axlna 3 导数的运算法则若y f x y g x 的导数存在 则 1 cf x cf x c为常数 2 f x g x 3 f x g x 4 g x 0 f x g x f x g x f x g x 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x0 与 f x0 表示的意义相同 2 求f x0 时 可先求f x0 再求f x0 3 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 4 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 5 若f x a3 2ax x2 则f x 3a2 2x 解析 1 错误 f x0 与 f x0 是不一样的 f x0 代表函数f x 在x x0处的导数值 不一定为0 而 f x0 是函数值f x0 的导数 而函数值f x0 是一个常量 其导数一定为0 即 f x0 0 2 错误 应先求f x 再求f x0 3 正确 如y 1是曲线y sinx的切线 但其交点个数有无数个 4 错误 如y 0与抛物线y2 x只有一个公共点 但是y 0不是抛物线y2 x的切线 5 错误 求导是对自变量求导 要分清表达式中的自变量 在这里自变量是x而不是a 故f x 2x 2a 答案 1 2 3 4 5 1 曲线y x3 2x在点 1 1 处的切线方程是 解析 y 3x2 2 在x 1处切线的斜率k 3 12 2 1 在点 1 1 处的切线方程是y 1 x 1 即x y 2 0 答案 x y 2 0 2 已知函数f x x 2a x a 2 则y 解析 f x x a 2 x 2a 2 x a 3 x2 a2 答案 3 x2 a2 3 一质点沿直线运动 如果由始点起经过t秒后的位移为那么速率为零的时刻是 解析 s t2 3t 2 令s 0 则t 1或t 2 答案 1秒末和2秒末 4 曲线f x xlnx在点x 1处的切线方程为 解析 f x lnx 1 f 1 1 f 1 0 切线方程为y 1 x 1 即y x 1 答案 y x 1 5 若f x xcosx sinx 则 解析 f x xcosx sinx f x cosx xsinx cosx xsinx 答案 6 若函数y tanx 则函数在点 0 0 处的切线的斜率是 解析 故当x 0时的切线斜率k 1 即所求切线的斜率是1 答案 1 考向1导数的运算 典例1 求下列函数的导数 1 y 2x2 1 3x 1 2 y x 3 y 思路点拨 1 可以先展开解析式 然后再求导 也可以直接利用乘积的求导法则进行求导 2 将利用三角函数公式化简后 再求导 3 将根式化成幂的形式 再求导 规范解答 1 方法一 可以先展开解析式 然后再求导 y 2x2 1 3x 1 6x3 2x2 3x 1 y 6x3 2x2 3x 1 6x3 2x2 3x 1 18x2 4x 3 方法二 可以利用乘积的求导法则进行求导 y 2x2 1 3x 1 2x2 1 3x 1 4x 3x 1 3 2x2 1 12x2 4x 6x2 3 18x2 4x 3 2 先使用三角函数公式进行化简得y y 3 y y 拓展提升 导数计算的原则和方法 1 原则 先化简解析式 再求导 2 方法 连乘积形式 先展开化为多项式的形式 再求导 分式形式 观察函数的结构特征 先化为整式函数或较为简单的分式函数 再求导 对数形式 先化为和 差的形式 再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式 再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式 再求导 变式训练 求下列函数的导数 1 y 3xex 2x e 2 y 3 y 解析 1 y 3xex 2x e 3x ex 3x ex 2x 3xln3 ex 3xex 2xln2 3e xln3e 2xln2 2 y 3 先化简 y y 考向2导数几何意义的应用 典例2 1 2013 无锡模拟 直线是曲线y lnx x 0 的一条切线 则实数b 2 2012 广东高考 曲线y x3 x 3在点 1 3 处的切线方程为 3 已知曲线c y x3 3x2 2x 直线l y kx 且l与c切于点p x0 y0 x0 0 求直线l的方程及切点坐标 思路点拨 1 利用斜率和导数计算求出切点坐标 再代入直线方程求b 2 因为点 1 3 为切点 故可由导数的几何意义求出斜率后 再用点斜式写出切线方程 3 因为直线l过原点 故可根据导数的几何意义及斜率公式以及点p既在曲线上又在切线上 构造一个关于x0 y0的方程组求解 规范解答 1 设切点坐标为 x0 y0 y 当x x0时 切线的斜率 x0 2 y0 ln2 b ln2 1 答案 ln2 1 2 y 3x2 1 当x 1时 y 2 此时斜率k 2 故所求切线方程为y 3 2 x 1 即2x y 1 0 答案 2x y 1 0 3 由直线l过原点 知 x0 0 又点p x0 y0 在曲线c上 y0 x03 3x02 2x0 因为y 3x2 6x 2 故k 3x02 6x0 2 又故由 得 所以3x02 6x0 2 x02 3x0 2 其中x0 0 解得x0 所以y0 所以所以直线l的方程为切点坐标为 互动探究 在本例题 2 中若曲线y x3 x 3在 点 1 3 处 改为 过点 1 3 其他条件不变 求此时的切线方程 解析 当点 1 3 是切点时 由本例题 2 知 切线方程为2x y 1 0 当点 1 3 不是切点时 设切点为 x0 x03 x0 3 又y 3x2 1 故斜率k 3x02 1 所求切线方程为y x03 x0 3 3x02 1 x x0 将点 1 3 代入 解得x0 或x0 1 舍 故切点为此时切线方程为即x 4y 13 0 综上所述 切线方程为2x y 1 0或x 4y 13 0 拓展提升 1 求曲线y f x 在点p x0 y0 处的切线方程的步骤 1 求出函数y f x 在点x x0处的导数 即曲线y f x 在点p x0 f x0 处切线的斜率 2 如果已知切点坐标和切线斜率 求得切线方程为y y0 f x0 x x0 如果曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线平行于y轴 由切线定义可知 切线方程为x x0 2 求曲线y f x 过点p x0 y0 的切线方程的步骤 1 设切点a xa f xa 求切线的斜率k f xa 写出切线方程 2 把p x0 y0 的坐标代入切线方程 建立关于xa的方程 解得xa的值 进而写出切线方程 变式备选 1 若曲线y x4的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直 则切线l的方程为 解析 与直线x 4y 8 0垂直的直线l为4x y m 0 即y x4在某一点的导数为4 而y 4x3 即4x3 4 解得x 1 所以y x4在点 1 1 处导数为4 此点的切线方程为4x y 3 0 答案 4x y 3 0 2 已知函数f x 的图象在点m 1 f 1 处的切线方程是2x 3y 1 0 则f 1 f 1 解析 依题意得2 1 3f 1 1 0 即f 1 1 由切线的斜率则f 1 则f 1 f 1 答案 创新体验 导数中的新定义问题 典例 2012 浙江高考 定义曲线c上的点到直线l的距离的最小值称为曲线c到直线l的距离 已知曲线c1 y x2 a到直线l y x的距离等于曲线c2 x2 y 4 2 2到直线l y x的距离 则实数a 思路点拨 规范解答 曲线c2 x2 y 4 2 2到直线l y x的距离为设曲线c1 y x2 a上的点 x0 y0 到直线l y x的距离最短 则过点 x0 y0 的切线平行于直线y x 对应函数的导数为y 2x 由2x0 1得x0 所以c1 y x2 a上的点 x0 y0 为由题意知解得或当时 直线l与曲线c1相交 不合题意 故舍去 答案 思考点评 1 方法感悟 本题充分体现了等价转化的思想在解题中的应用 即利用定义将曲线c2 x2 y 4 2 2到直线l y x的距离转化为圆心到直线的距离减去半径 曲线c1 y x2 a到直线l y x的距离转化为曲线c1上与l平行的切线与l的距离 再利用导数研究曲线c1的切线问题 最终根据两距离相等构造方程求出a的值 这种 等价转化 的思想是解决数学问题的重要思想 2 技巧提升 对待新定义问题 应该首先仔细审题 把新定义的规定理解透彻 提取定义中等量关系和数量关系或定义中的关键词语 如本题定义中的关键词为 最小值 然后结合所学知识进行分析求解 1 2013 盐城模拟 函数f x 则 解析 答案 0 2 2012 辽宁高考 已知p q为抛物线x2 2y上两点 点p q的横坐标分别为4 2 过p q分别作抛物线的切线 两切线交于点a 则点a的纵坐标为 解析 因为点p q的横坐标分别为4 2 代入抛物线方程得p q的纵坐标分别为8 2 由x2 2y 则所以y x 所以过点p q的抛物线的切线的斜率分别为4 2 所以过点p q的抛物线的切线方程分别为y 4x 8 y 2x 2 联立方程组解得x 1 y 4 故点a的纵坐标为 4 答案 4 3 2013 南通模拟 已知函数f x sinx ex x2011 令f1 x f x f2 x f1 x fn 1 x fn x 则f2012 x 解析 f1 x f x cosx ex 2011x2010 f2 x f1 x sinx ex 2011 2010 x2009 f3 x f2 x cosx ex 2011 2010 2009 x2008 f4 x f3 x sinx ex 2011 2010 2009 2008x2007 f2012 x f2011 x sinx ex 2011 答案 sinx ex 2011 4 2013 徐州模拟 已知函数f x x3 ax2 b a b r 图象上任意一点处的切线的斜率都小于1 则实数a的取值范围是 解析 由题意f x 3x2 2ax 当时 f x 取得最大值 答案 5 2012 新课标全国卷 曲线y x 3lnx 1 在点 1 1 处的切线方程为 解析 函数的导数为y 所以在点 1 1 处的切线的斜率为k 4 所以切线方程为y 1 4 x 1 即y 4x 3 答案 y 4x 3 1 若曲线的倾斜角为 则 的取值范围是 解析 1 f x 1 的取值范围是答案 2 设曲线y xn 1 n n 在点 1 1 处的切线与x轴的交点的横坐标为xn 则x1 x2 xn的值为 解析 对y xn 1 n n 求导得y n 1 xn 令x 1得在点 1 1 处的切线的斜率k n 1 在点 1 1 处的切线