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文档简介

第五章 力学量随时间的变化与对称性5.1）设力学量不显含，为本体系的Hamilton量，证明证.若力学量不显含，则有,令则,5.2）设力学量不显含，证明束缚定态，证：束缚定态为:：。在束缚定态，有。其复共轭为。5.3）表示沿方向平移距离算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）,是的本征态，相应的本征值为证：,证毕。5.4）设表示的本征态（本征值为），证明是角动量沿空间方向的分量的本征态。证：算符相当于将体系绕轴转角，算符相当于将体系绕轴转角，原为的本征态，本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的轴（开始时和实验室轴重合）已转到实验室坐标系的方向，即方向，变成了，即变成了的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为。（还有解法二，参 钱. .剖析. P327）5.5）设Hamilton量。证明下列求和规则。是的一个分量， 是对一切定态求和，是相应于态的能量本征值，。证： （）又，。不难得出，对于分量，亦有同样的结论，证毕。5.6）设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为 （1）证：式（1）左端 （2）计算中用到了公式 。由于是厄米算符，有下列算符关系： （3）式（2）取共轭，得到 （4）结合式（2）和（4），得证毕。5.7）证明schrdinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动（沿轴方向），空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系：。 （1）势能在两个参照系中的表示式有下列关系 （2）证明schrdinger方程在参照系中表为 在参照系中表为 其中 证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。， 是时刻在点找到粒子的几率密度；，是时刻在点找到粒子的几率密度。但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即 （6）从（1）式有 （6）由此可以得出， 和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以 （7） （7）由（1）式， , , （3）式变为： （8）将（7）代入（8）式，可得 （9）选择适当的，使得（9）（4）， 。 （10） （10）从（10）可得 。 （11）是的任意函数，将（11）代入（10），可得积分，得 。为积分常数，但时，系和系重合，应等于，即应等于，故应取，从而得到 （12）代入（7）式，最后得到波函数的变换规律： （13）逆变换为 （13）相当于式（13）中的，带的量和不带的量互换。讨论：的函数形式也可用下法求出：因和势能无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在和系中的表现形式，即可确定.沿方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为 （14）据此，系和系中相应的平面波波函数为， （15）（1）、（14）代入（15），即得此即（
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