【立体设计】高考数学 第九章 8 立体几何中的向量方法课后限时作业 理（通用版）.doc

2012高考立体设计理数通用版第九章 8 立体几何中的向量方法课后限时作业一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分） 1.若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是 ( )a(1,0,0)，n(2,0,0)a(1,3,5)，n(1,0,1)a(0,2,1)，n(-1,0，-1)a(1，1,3)，n(0,3,1)解析：若l，则an=0，只有选项d中an=0答案：d2.已知e、f分别是正方体abcda1b1c1d1中bb1、dc的中点，则异面直线ae与d1f所成的角为()a30 b60c45 d90解析：以a1为原点，、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系不妨设正方体的棱长为2，则a(0,0,2)，e(2,0,1)，d1(0,2,0)，f(1,2,2)，(2,0，1)，(1,0,2)，所以0，所以aed1f，即ae与d1f所成的角为90.答案：d3已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为 ()a45 b135c45或135 d90解析：设二面角为，则cosm，n，所以45或135.答案：c4.已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，e为aa1中点，则异面直线be与cd1所成角的余弦值为( )a b cd解析：如图，连结a1b，则有a1bcd1，a1be就是异面直线be与cd1所成角.设ab=1，则a1e=ae=1，所以be=，a1b=.由余弦定理可知：cosa1be=.答案：c5.（2011届威海质检）已知长方体abcda1b1c1d1中，abbc4，cc12，则直线bc1和平面dbb1d1所成角的正弦值为()a. b.c. d.解析：以d为原点，分别以、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则b(4,4,0)，c1(0,4,2)，所以(4,0,2)易知平面bdd1b1的法向量为(4,4,0)，所以cos，所以所求线面角的正弦值为sin cos，.答案：c6正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是a1c1的中点，则o到平面abc1d1的距离为()a. b. c. d.解析：(方法1)如图，e为ad1的中点，过o点作ofa1e，交c1e于点f.因为e为ad1的中点，所以ea1ad1.又因为ba面aa1d1d，所以baea1，所以ea1面abc1d1.又因为foea1，所以fo面abc1d1，所以foea1，所以选b.(方法2)建立如图所示的空间直角坐标系，可得，平面abc1d1的法向量(1,0,1)，点o到平面abc1d1的距离d，所以选b.答案：b二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7已知直线l的方向向量是e，平面、的法向量分别是n1、n2，若a，且en1，en2，则l与a的关系是 解析：若l与a重合，符合条件；若l与a不重合，由条件知l，l，故l必定与、的交线平行，即la.答案: la或l与a重合8.长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，cos,=.答案：9.在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是a1b1、cd的中点，则点b到截面aec1f的距离为 .解析：以d为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则a（1，0，0），.所以.设平面aec1f的法向量为n=（1，,），则有所以所以n=(1,2,-1).又因为=（0，1，0），所以点b到截面aec1f的距离为.答案：10.在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中，平面ab1c与平面a1c1d间的距离为 .解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设平面a1c1d的一个法向量n=(x,y,1),则即所以n=(1,1,1),所以平面ab1c与平面a1c1d间的距离d=.答案：三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11. 在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是d1d、bd的中点，g在棱cd上，且cgcd，h为c1g的中点，应用空间向量方法求解下列问题(1)求证：efb1c.(2)求ef与c1g所成角的余弦(1)证明：以d为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则e，f，c(0,1,0)，b1(1,1,1)，c1(0,1,1)，g.因为，(1,0，1)，所以00，所以，即efb1c.(2)解：，所以|.由(1)知|.又因为，所以cos，故ef与c1g 所成角的余弦值为.12.已知棱长为1的正方体ac1，e、f分别是b1c1、c1d1的中点（）求证：e、f、d、b共面；（）求点a1到平面bdef的距离；（）求直线a1d与平面bdef所成的角（1）证明：因为e、f分别为b1c1、c1d1的中点，所以efb1d1.在正方体abcd-a1b1c1d1中，b1d1bd，所以efbd.所以e、f、d、b点共面.（2）解：由图知b（1，1，0），.设n=(x,y,z)是平面bdef的法向量，由n,ndf, ,得nx+y=0，n=y+z=0，则x=-y,z=-y. 令y=1，得n=.设点a1在平面bdfe上的射影为h，连结a1d，知a1d是平面bdfe的斜线段因为=(-1,0,-1),n =(-1)(-1)+01+(-1)=.又因为，,所以.所以点a1到平面bdef的距离为1.（3）解：，所以=45,所以直线a1d与平面bdef所成的角为45.b组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 1若e为正方体abcda1b1c1d1中cd的中点，aba，则a1e与b1b的距离是()a.a ba c.a d.a解析：可利用公式d，也可先转化成线面距离(即bb1到面a1ae的距离)再求解答案：c2.正四棱柱abcd-a1b1c1d1中，底面边长为，侧棱长为4，e，f分别为棱ab，bc的中点，efbd=g则三棱锥b1-efd1的体积v ( )a. b. c. d.16解析：以d为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以所以.所以，所以设平面d1ef的方程为x+by+cz+d=0，将点d1,e,f代入得所以所以平面d1ef的方程为x+y+z=0,其法向量为n=,所以点b1到平面d1ef的距离,所以,即为所求.答案：c二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3.正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角是 解析：如图，以o为原点，建立空间直角坐标系o-xyz.设od=so=oa=ob=oc=a，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(-a,0,0)，p,则，设平面pac的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则，所以60，所以直线bc与平面pac所成的角为906030.答案：304.如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中,abbc2，aa11，则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为 .解析：连结a1c1交b1d1于o，连结bo，则a1c1b1d1.又a1c1bb1，b1d1bb1=b,所以a1c1平面bb1d1d.所以c1bo是bc1与平面bb1d1d所成的角.在rtboc1中，bc1,c1o=,所以sinc1bo.(也可用向量法求解)答案：三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5.如图所示，在长方体abcd-a1b1c1d1中，已知ab4，ad3，aa12，e、f分别是线段ab、bc上的点，且ebfb1.（）求二面角c-de-c1的正切值；（）求直线ec1与fd1所成角的余弦值解：（1）以a为原点，ab、ad、aa1分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有d(0,3,0)，d1(0,3,2)，e(3,0,0)，f(4,1,0)，c1(4,3,2)，于是=（3,-3，0），=（1，3，2），=（-4，2，2）.设平面c1de的法向量为n=（x，y，z）.则n，n,所以3x-3y=0,x+3y+2z=0.所以x=y=.令z=2,则n(1，1,2)因为向量(0,0,2) 是平面cde的一个法向量，所以n与向量所成的角为二面角c-de-c1的平面角因为,所以（2）设ec1与fd1所成的角为，则.6.（2010重庆）如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为矩形，pa底面abcd，pa=ab=，点e是棱pb的中点.（）求直线ad与平面pbc的距离；（）若ad=，求二面角a-ec-d的平面角的余弦值解：（1）以a为坐标原点，射线ab、ad、ap分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系a-xyz设d(0,a,0)，则b,c,p，e.因此，则0，0，所以ae平面pbc.又由adbc知ad平面pbc，故直