高等数学解题中转化的应用.pdf

第 26 卷 第 3 期 邢 台 职 业 技 术 学 院 学 报 Vol 26 No 3 2009 年 6 月 Journal of Xingtai Polytechnic College Jun 2009 收稿日期 2009 02 26 作者简介 冯娟 1962 女 河北邢台人 邢台学院数学系 副教授 32 高等数学解题中转化的应用 冯 娟 邢台学院 数学系 河北 邢台 054001 摘 要 转化是数学中常用的方法 通过实例 说明转化在高等数学中的广泛应用 关键词 高等数学 转化 应用 中图分类号 O13 文献标识码 A 文章编号 1008 6129 2009 03 0032 03 转化 是数学中最常用最基本的思维方式之一 它是在分析解决问题时 把那些待解决或难解决 的问题 转化为简单 明显的问题 在高等数学中 这种方法更是贯穿于整个微积分学 本文就此方法 的应用进行逐一整理 以期对所蕴含的数学思想有更深刻的理解 一 数列极限与函数极限间的转化 数列可以看成是函数的一种特殊形式 因此 数列极限可以转化为函数极限 二者有如下的极限关 系 海涅定理 如果极限 lim 0 xf xx 存在 n x为函数 xf的定义域内任意收敛于 0 x的数列 且满足 0 Nnxxn 那么相应的函数值数列 n xf必收敛 且 lim lim 0 xfxf xx n n 反之亦然 例 1 求极限 n n n x l cos lim 解 取对数并以t代 n 1 n x nl n coslnlimln txt t coslnlim 2 0 2cos2 sin lim 2 0 x txt txx t 所以 2 2 x el 二 数列与级数间的转化 级 数 所 表 示 的 是 一 个 给 定 数 列 321n aaaa的 无 穷 项 形 式 和 即 n n n aaaaa 321 1 由此还可验证 级数概念与数列概念实质上互相等价 所以 判定 n x 收敛与求 n n x lim的问题可转化为判定 1n n a收敛与求和 1n n aS 反之亦然 通常我们常习惯将级数的收 敛问题与求和问题转化为其部分和数列的收敛问题 而相反的转化往往不重视 没有充分运用起来 1 1 利用数列部分和讨论级数的收敛性 例 2 讨论级数 1 1 1 n nn 的收敛性 并求和 解 1 11 1 1 nnnn 于是得 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 nn Sn 1 1 1 n 1lim n n S 由定义知级数收敛 并且1 1 1 1 n nn 2 利用级数的收敛性讨论数列 2 例 3 求极限 n n n n n 2 5 lim 解 设 n n n n n x 2 5 邢台职业技术学院学报 2009 年 第 3 期 33 n nn nn n n n n nn nn x x 1 2 5 5 22 2 1 5 1 1 1 1 2 5 1 1 1 2 5 n e n n 当 正项级数 1n n x收敛 从而 n n n n n 2 5 lim 0 三 积分间的相互转化 在高等数学中所涉及到的积分包括不定积分 定积分 重积分 曲线积分 曲面积分等 它们的计 算大都是通过转化进行的 从中真正体现了转化思想的巨大作用 除教材中介绍的累积积分与重积分的 相互转化 曲线积分化成定积分 曲线积分化为二重积分等 本文介绍积分间相互转化其他几种形式 1 空间曲线积分转化为平面曲线积分 平面曲线积分无疑比空间曲线积分要简单 因此可考虑化空间曲线积分为平面曲线积分 这里只讨 论第二类曲线积分 设 是一空间曲线 L是 在xoy平面上的投影 其方向与 一致 设RQP 是在包含 的某区域 内有定义的函数 若QP 与z无关 则有如下转化公式 L QdyPdxRdzQdyPdx 例4 计算 xydzzxdyyzdxI3 其中 为曲线 013 4 22 zy yyx 从z轴正向看过去 的方 向沿逆时针方向 解 曲 线 在xoy平 面 上 的 投 影 为L yyx4 22 且 在L上 恒 有13 yz 故 xydydyyxdxyyI3 13 3 13 dyyxdxyy 12 3 13 设所围成的区域为D 则区域D的面积为 4 利用格林公式 得 82 16 36 DD dxdydxdyyyI 2 曲面积分的计算 曲面积分包括第一类曲面积分和第二类曲面积分 其计算方式类似于曲线积分 可以利用高斯公式 转化为重积分 或它们之间的转化 或用斯托克斯公式来进行计算 1 利用两种曲面积分的关系 第一类曲面积分与第二类曲面积分有如下关系 dSRQPRdxdyQdzdxPdydz coscoscos dSnA 其中 RQPA cos cos cos n表示有向曲面 的单位法向量 2 用此关系可以进行两 种积分间的相互转化 例5 求 zdxdyydzdxxdydzI 是球面 2222 azyx 的外侧 第二类曲面积分转 化成第一类曲面积分 解 令 zyxr 则有向曲面的单位法向量 r r n cos cos cos 3 4 adSadSnrI 2 利用高斯公式计算 高斯公式实际是格林公式的一种推广形式 可利用高斯公式将曲面积分化成三重积分 再进行计算 例6 求曲面积分 dxdyezdzdxxzydydzzyxI yx 3 sin 2 其中 为曲面1 yxzxzyzyx的外表面 第二类曲面积分 邢台职业技术学院学报 2009 年 第 3 期 34 解 由 高 斯 公 式 知 V dxdydzI 321 其 中V为 所 包 含 的 区 域 1 yxzxzyzyx 作旋转变换 zyxu xzyv yxzw 这时 变成1 wvu V是对称的八面体 它在uvw的第一卦限的部分是1 wvu及坐标面0 u 0 v 0 w所 围成的区域 4 1 111 111 111 1 1 zyx wvu wvu zyx J 因此 21 2 1 3 1 8 4 1 6 4 1 6 1 wvu dudvdwI 3 曲线积分与曲面积分间的转化 斯托克斯公式是格林公式的另一个推广 它建立了沿空间曲面 的曲面积分与沿 的边界曲线 的 曲线积分之间的联系 例7 计算曲线积分 xdzzdyydx 为圆周 2222 azyx 0 zyx 若从ox轴 的正向看去 圆周L是以反时针方向进行的 解 平面0 zyx的法线方向余弦为 3 1 coscoscos xdzzdyydx dS xzy zyx coscoscos dS coscos cos 22 3 coscos cosaa 例8 计 算 dSnArot 其 中 是 球 面9 222 zyx的 上 半 部 是 它 的 边 界 kzjxiyA 2 32 解 边界曲线 0 z平面内一圆9 22 yx 由斯托克斯公式 dzzxdyydxdStAdSnArot 2 32 写为参数方程 0 sin3 cos2 zyx 2 0 2 2 0 2 9cos93sin92dddSnArot 参考文献 1 胡适耕 大学数学解题艺术 M 长沙 湖南大学出版社 2001 172 173 2 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 M 北京 高等教育出版社 2006 48 49 3 同济大学数学系 高等数学 第六版 M 北京 高等教育出版社 2007 226 227 Applications of Conversion in Higher Mathematics Problem solving FENG Juan Xingtai University Xingtai Hebei 054001 China Abstract Conversion is a commonly us