【教学设计】《球》（数学北师大必修二）

球教学设计本课时编写：崇文门中学 高巍巍教材分析: 教材基于学生已有的对空间几何体体积的知识基础，通过提供直观形象的观察和推导，了解推导过程中基本的数学思想方法“分割、求和、化为准确和”，进一步得出球的表面积、体积公式.球是重要的几何体，需要研究、分析、应用，而且可以先渗透极限思想，对微积分有初步的认识和了解.教学目标：【知识与能力目标】1. 通过对球的表面积、体积公式的推导，了解推导过程中基本的数学思想方法“分割、求和、化为准确和”，有利于同学进一步学习微积分知识和近代数学知识；2. 能运用球的表面积、体积计算公式进行计算和解决有关实际问题；3. 培养学生空间想象能力和思维能力.【过程与方法】1. 学生研究体会球表面积、体积关系变化过程，渗透极限思想；2. 学生通过学习能增强空间想象能力.【情感态度与价值观】通过学习，学生感受到几何体体积的求解过程，对自己空间思维能力影响，从而增强学习的积极性.教学重难点： 【教学重点】球的表面积、体积.【教学难点】球的表面积、体积公式推导. 课前准备： 课件、学案、实物模型. 教学过程： 一、课题引入：下面的物体呈什么形状？ 问题1：还有什么物体给我们球的形象呢？问题2：球可以由平面图形怎么得到呢？问题3：它也有表面积和体积，那么它的表面积和体积是什么？如何得到呢？ 那我们就先一起来研究球的体积吧.二、新课探究：1球的概念：半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做球面球面所围成的几何体，叫做球体，简称球球的各个元素（如图所示）：（1）球心；（2）球的半径；（3）球的直径.O直径半径球心2.球的体积：球的体积现在不知道怎么求，那如何把未知的转化成已知呢？那可以考虑将球拆分吗？如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小时得到很多“小圆片”， “小圆片”的体积之和正好是球的体积.由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应圆柱的体积，因此求球的体积可以按“分割、求和、化为准确和”的方法来进行. 步骤： 如图，把半球垂直于底面的半径OA作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”， “小圆片”的厚度近似为，底面是“小圆片”的下底面. 由勾股定理可得第i层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： （）第i层“小圆片”的体积为：，（） 半球的体积：1（1）（1）1n（注：）n）=当所分的层数不断增加，也就是说，当n不断变大时，式越来越接近于半球的体积，如果n无限变大，就能由式推出半径的体积.事实上，n增大，就越来越小，当n无限大时，趋向于0，这时，有，所以，半径为R的球的体积为： 球的体积：.（R为球的半径） 同样方法思路推导球的表面积3.球的表面积： 球的表面积：.（R为球的半径）【设计意图】这个公式的推导难度较大，所以只试着推导一个体积公式，表面积公式不再做推导，思路方法基本相同，只作为了解，不需要完全理解掌握，只要渗透分割、极限的数学思想方法即可.球的体积、表面积的公式应用才是这节课的重点.4.球的截面问题：用一个平面去截一个球，截面是圆面：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球的半径r，有下面的关系：da OOdRrP球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆知识拓展：过南北极的半大圆是经线，平行于赤道的小圆是纬线球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.5.正方体的内切球和外接球 正方体的内切球：正方体的边长为球直径设正方体边长为，球的半径为. 正方体的外接球：正方体的体对角线为球的直径设正方体边长为，球的半径为.三、知识应用：题型一计算球的体积、表面积问题例1. (1) 已知球的半径为2cm，求这个球的体积、表面积.解： (2) 已知球的表面积为，求球的半径及体积. 解： ， 则 ， .【设计意图】 通过题目的练习更加好的理解记忆公式并使用，可以更灵活的应用.例2. 如图所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的；(2) 球的表面积等于圆柱的侧面积证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.则有，所以.（2）因为，所以.22主视图俯视图左视图2题型二三视图中的球例3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D 解：正方体和球组成，球半径为1，.【设计意图】高考中将三视图和表面积体积问题经常合一考查， 所以这一类问题是重点. 题型三正方体外接球与内切球例4. (1) 若一个球内切于棱长为的正方体内，则该球的表面积为；体积为(2) 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，则球的表面积为；体积为 (3) 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为,则此球的表面积为；体积为解：(1) ，则，(2) ，则，.(3) 同理正方体思考，体对角线为球直径，. 则，. 【设计意图】理解一般情况后，请同学举例特殊值计算，或者反球.最重要的明确棱长与球半径间的关系，自然找到解决办法. 请同学思考正四面体内切球及外接球.题型四球的截面问题例5. 若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9,求球的表面积. 解：与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9，d=4时，r=3故R=5球的表面积S=4R2=100.题型五计算球表面积、体积的实际问题例6.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求钢球的半径.解：设钢球的半径为R，由题意得：，解得，