高中数学 1.5.1 估计总体的分布课件 北师大版必修3.ppt

5用样本估计总体5 1估计总体的分布 1 频数与频率 1 频数 将样本数据按特征分成若干个小组 各组内数据的 称为该组的频数 2 频率 的个数与 的个数的比值称为该组的频率 个数 每组数据 全体数据 2 频率分布表为了能直观地了解样本或者总体中各事件的频率分布情况 通常我们把样本容量 样本中出现该事件的 以及计算所得的相应 矩形高度 列在一张表内 称为样本频率分布表 简称为频率分布表 频数ni 频率fi 3 频率分布直方图根据样本频率分布表 将各小组的有关数据制成一个小矩形 其中每个小矩形的宽度为 高为 小矩形的面积恰为相应的 这样的图形称为频率分布直方图 xi 分组的宽度 频率fi 4 频率折线图通常 在频率分布直方图中 按照分组原则 在左边和右边 从所加的左边区间的 开始 用 依次连接各个矩形的 中点 直至右边所加区间的中点 从而得到一条折线 这条折线称为频率折线图 各加 一个区间 中点 线段 顶端 1 判一判 正确的打 错误的打 1 频率分布直方图的高度反映了频数 2 频率分布直方图的宽度没有实际意义 3 频率分布直方图的矩形面积是频率 解析 1 错误 频率分布直方图的高度是频率除以组距 2 错误 频率分布直方图的宽度表示组距 3 正确 频率直方图的矩形面积是频率 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 一个容量为20的样本 已知某组的频率为0 25 则该组的频数为 2 已知一个容量为40的样本 把它分成6组 第一组到第四组的频数分别为5 6 7 10 第五组的频率是0 2 那么第六组的频数是 频率是 3 为了让人们感知塑料袋对环境造成的影响 某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量 结果如下 单位 个 33 25 28 26 25 31 如果该班有45名学生 那么根据提供的数据 估计本周全班同学各家丢弃塑料袋的总数量约为 解析 1 依题意频数为20 0 25 5 答案 5 2 第五组的频数为0 2 40 8 所以第六组的频数为40 5 6 7 10 8 4 频率为 0 1 答案 40 1 3 由33 25 28 26 25 31 可以得到平均值为 33 25 28 26 25 31 28 即平均每个家庭丢弃的塑料袋为28个 则本周全班同学各家丢弃的塑料袋的总数约为 28 45 1260 答案 1260 要点探究 知识点总体分布的估计1 对频率分布直方图及频率折线图的理解 1 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小 一般用频率分布直方图反映样本的频率分布 2 频数分布直方图是以频数为纵坐标 数据观测值为横坐标 以组距为底边 落入组内的数据频数为高 画出一系列矩形 这样得到的图形为频数分布直方图 3 频率分布直方图是利用直方图反映样本的频率分布规律 它比频率分布表更直观地反映样本的分布规律 简称频率直方图 4 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点 就得到频率折线图 2 样本的频率分布 1 频率分布表在数量表示上比较确切 但不够直观形象 不方便分析总体的分布情况 2 频率分布直方图是把频率分布表直观化 非常直观地表示出样本分布的特点 能看出样本数据的分布模式 但是从直方图本身得不出原始的数据 3 频率折线图是在直方图的基础上绘制而成 它反映了样本数据的变化趋势 如果样本容量不断增大 分组的组距不断缩小 那么折线图就会越来越接近于一条光滑曲线 3 识读频率分布直方图的关键 1 纵坐标为 每个小矩形的面积是该小组数据的频率 2 组距是一个固定值 所以各小矩形的高度之比等于相应小组的频率之比 3 所有小矩形的面积之和是1 即频率之和是1 常被用来求有关数值 4 平均数是频率分布直方图的 重心 在频率分布直方图中 平均数是直方图的平衡点 由直方图往往只能估算样本的众数 中位数等特征数 知识拓展 频率分布表 频率分布直方图 频率折线图 频数分布直方图的特点 微思考 1 频数分布直方图和频率分布直方图有什么区别和联系 提示 频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各小组的个数 而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度 来表示数据分布的规律 它可以使我们看到整个样本数据的频率分布 2 在画频率折线图时 可以画成与横轴相连吗 提示 为了方便看图 一般习惯把频率折线图画成与横轴相连 所以横轴上左右两端点没有实际的意义 3 在用样本的频率分布估计总体的分布时 当样本容量发生变化时 估计的结果会有哪些变化 提示 当样本不断增大时 样本中落在每个区间内的样本数的频率会稳定于总体在相应区间内取值的概率 样本容量越大 估计越精确 即时练 1 在画频率分布直方图时 某组的频数为10 样本容量为50 总体容量为600 则该组的频率是 2 某班50名学生在一次健康体检中 身高全部介于155cm与185cm 其身高频率分布直方图如图所示 则该班级中身高在 170 185 单位 cm 的学生共有 人 解析 1 选a 频率 2 身高在 170 185 的学生人数为50 1 0 004 0 036 0 072 5 22人 答案 22 题型示范 类型一频率分布直方图的概念及画法 典例1 1 在用样本估计总体分布的过程中 下列说法正确的是 a 总体容量越大 估计越精确b 总体容量越小 估计越精确c 样本容量越大 估计越精确d 样本容量越小 估计越精确 2 某中学同年级40名男生的体重数据如下 单位 千克 61605959595858575757575656565656565655555555545454545353525252525251515150504948列出样本的频率分布表 画出频率分布直方图 解题探究 1 题 1 中 总体容量 样本容量分别指的是什么 2 题 2 中 极差是多少 组距和分组组数分别是多少 探究提示 1 总体容量是指考察对象的全体的数量 样本容量是样本中个体的数量 2 极差为61 48 13千克 组距为2 应分7组 自主解答 1 选c 样本容量越大 所涉及的数据越多 反映的信息越接近实际情况 即估计越精确 2 计算极差 61 48 13 千克 决定组距与组数 取组距为2 因为所以共分7组 决定分点 使分点比数据多一位小数 并把第1小组的分点减小0 5 即分成如下7组 47 5 49 5 49 5 51 5 51 5 53 5 53 5 55 5 55 5 57 5 57 5 59 5 59 5 61 5 列出频率分布表如下 作出频率分布直方图如下 方法技巧 频率分布直方图的画法步骤 1 组数的决定方法是 设数据总数目为n 一般地 当n 50 则分为5 8组 当50 n 100时 则分为8 12组较为合适 2 分点数的决定方法是 若数据为整数 则分点数据减去0 5 若数据是小数点后一位的数 则分点减去0 05 以此类推 3 画频率分布直方图小长方形高的方法是 假设频数为1的小长方形的高为h 则频数为k的小长方形高为kh 变式训练 为了了解一大片经济林的生长情况 随机测量其中的100株的底部周长 得到如下数据表 长度单位 cm 1 列出频率分布表 2 绘制频率分布直方图 3 估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少 周长不小于120cm的树木约占多少 解析 1 从表中可以看出 这组数据的最大值为135 最小值为80 故极差为55 可将其分为11组 组距为5 从第一组 80 85 开始 将各组的频数 频率和填入表中 2 绘制频率分布直方图如图 3 从频率分布表可以看出 该样本中小于100的频率为0 01 0 02 0 04 0 14 0 21 不小于120的频率为0 11 0 06 0 02 0 19 故可估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占21 周长不小于120cm的树木约占19 误区警示 确定组距与组数是解决此类问题的关键 组距与组数应该取整 补偿训练 为了了解中年人在科技队伍中的比例 对某科研单位全体科技人员的年龄进行登记 结果如下 单位 岁 44 40 31 38 43 45 56 45 46 42 55 41 44 46 52 39 46 47 36 50 47 54 50 39 30 48 48 52 39 46 44 41 49 53 64 49 49 61 48 47 59 55 51 67 60 56 65 59 45 28 列出样本的频率分布表 绘出频率分布直方图 解析 1 求极差 已知数据的最大值是67 最小值是28 所以极差为67 28 39 2 求组距与组数 组距为5 岁 分为8组 3 决定分点 4 列频率分布表 5 绘制频率分布直方图如图所示 类型二频率分布直方图及折线图的应用 典例2 1 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人 并根据所得数据画了样本的频率分布直方图 为了分析居民的收入与年龄 学历 职业等方面的关系 要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人进行进一步调查 则在 2500 3000 元 月收入段应抽出 人 2 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高 单位 cm 列出样本频率分布表 画出频率分布直方图 估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比 解题探究 1 题 1 中 在 2500 3000 上的频率是多少 2 题 2 中 绘制频率分布表时主要有哪些栏目 探究提示 1 在 2500 3000 上的频率是 500 0 0005 0 25 2 频率分布表主要有分组 频数 频率组成 自主解答 1 由直方图可得 2500 3000 元 月收入段共有10000 0 0005 3000 2500 2500人 则在这段人中按分层抽样应抽出2500 25人 答案 25 2 样本频率分布表如下 其频率分布直方图如图所示 由样本频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0 04 0 07 0 08 0 19 所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19 方法技巧 应用频率分布直方图与折线图的关注点 1 为了对实际问题进行考察 需要进行抽样 对抽样获取的数据进行整理即可得到样本频率分布表 分布直方图和折线图 然后由样本的这些特征对实际问题 总体 进行估计或预测 2 根据样本频率分布的图表可以对实际问题在某一范围内的分布频率 变化趋势和规律进行估计或预测 3 频率折线图与横轴相连 是为了看图方便 横轴上的左右两端点没有实际的意义 4 频率折线图反映了数据的变化趋势 可用来对数据进行估计和预测 变式训练 2013 福建高考 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生 将他们的模块测试成绩分成6组 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 加以统计 得到如图所示的频率分布直方图 已知高一年级共有学生600名 据此估计 该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 a 588b 480c 450d 120 解题指南 切记 直方图的纵坐标不是频率 而是频率比组距 解析 选b 不少于60分的频率为 0 030 0 025 0 015 0 010 10 0 8 所以所求学生人数为0 8 600 480 人 补偿训练 2014 宝鸡高一检测 某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间 单位 分钟 并将所得数据绘制成频率分布直方图 如图 其中 上学路上所需时间的范围是 0 100 样本数据分组为 0 20 20 40 40 60 60 80 80 100 1 求直方图中x的值 2 如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿 请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿 解析 1 由 x 0 0125 0 0065 0 003 2 20 1 解得x 0 025 2 上学所需时间不少于40分钟的学生的频率为 0 0065 0 003 2 20 0 25 估计学校1000名新生中有1000 0 25 250名学生可以申请住宿 答 估计学校1000名新生中有250名学生可以申请住宿 类型三用样本分布估计总体分布 典例3 1 如图是根据部分城市某年6月份的平均气温 单位 数据得到的样本频率分布直方图 其中平均气温的范围是 20 5 26 5 样本数据的分组为 20 5 21 5 21 5 22 5 22 5 23 5 23 5 24 5 24 5 25 5 25 5 26 5 已知样本中平均气温低于22 5 的城市个数为11 则样本中平均气温不低于25 5 的城市个数为 2 为了了解高一学生的体能情况 某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试 将所得数据整理后 画出频率分布直方图 如图 图中从左到右各小长方形面积之比为2 4 17 15 9 3 第二小组频数为12 第二小组的频率是多少 样本容量是多少 若次数在110以上 含110次 为达标 试估计该学校全体高一学生的达标率是多少 在这次测试中 学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内 请说明理由 解题探究 1 题 1 中 如何计算气温不低于25 5 的城市的频率 2 题 2 中 如何估计高一学生的达标率 探究提示 1 最右边矩形的面积即为所求频率 2 利用110次以上 含110次 的矩形面积除以所有的矩形面积之和 自主解答 1 最左边两个矩形面积之和为0 10 1 0 12 1 0 22 总城市数为11 0 22 50 最右面矩形面积为0 18 1 0 18 50 0 18 9 答案 9 2 由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小 因此 第二小组的频率为 又因为第二小组频率 所以样本容量 由图可估计该学校高一学生的达标率约为 由已知可得各小组的频数依次为6 12 51 45 27 9 所以前三组的频数之和为69 前四组的频数之和为114 所以跳绳次数的中位数落在第四小组内 延伸探究 在题 1 中若将直方图去掉 增加条件 从左到右各小长方形的高的比为5 6 6 13 11 9 其他条件不变 则结果如何 解析 由题意知平均气温低于22 5 的频率为 0 22 故城市数为11 0 22 50 平均气温不低于25 5 的频率为城市个数为50 0 18 9 方法技巧 用样本估计总体的常用方法 1 用频率分布表估计总体分布 根据样本数据可以制作频率分布表 利用频率分布表中的数据 如各小组的频数 频率 可以对总体中的有关量进行估计 2 用频率分布直方图估计总体分布 根据样本数据绘制出的频率分布直方图具有直观的特点 可以直接判断出样本中数据的分布特点和变化趋势与规律 并由此对总体进行估计 3 用频率折线图估计总体分布 由样本频率分布直方图可以绘制出频率折线图 且样本容量越大 分组的组距不断缩小 那么折线图就越接近于总体分布 从而由频率折线图对总体估计就越精确 变式训练 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时 则视为合格品 否则视为不合格品 在近期一次产品抽样检查中 从某厂生产的此种产品中 随机抽取5000件进行检测 结果发现有50件不合格品 计算这50件不合格品的直径长与标准值的差 单位 mm 将所得数据分组 得到如下频率分布表 1 将上面表格中缺少的数据填在相应的位置上 2 估计该厂生产的此种产品中 不合格品的直径长与标准值的差落在区间 1 3 内的概率 3 现对该厂这种产品的某个批次进行检查 结果发现有20件不合格品 据此估算这批产品中的合格品的件数 解析 1 2 由频率分布表知 不合格品的直径长与标准值的差落在区间 1 3 内的概率为0 50 0 20 0 70 3 合格品的件数为20 20 1980 件 补偿训练 某公司对已制造出售的洗衣机安全无故障运行时间进行抽样调查 以便制定技术更新计划