高考数学 第二章 第五节 对数、对数函数课件 理 苏教版.ppt

第五节对数 对数函数 1 对数 1 对数的定义 根据下图的提示填写与对数有关的概念 其中a的取值范围是 指数 对数 幂 真数 底数 a 0 且a 1 2 两种常见对数 10 lgn e lnn 2 对数的性质 换底公式与运算性质 0 1 n logam logan logam logan nlogam n r 3 对数函数的定义 图象与性质及反函数 1 对数函数的定义一般地 函数y 叫做对数函数 logax a 0 a 1 2 对数函数的图象与性质 0 r 0 1 0 增函数 减函数 3 反函数指数函数y ax a 0且a 1 与对数函数 互为反函数 它们的图象关于直线 对称 y logax a 0且a 1 y x 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数y lg x 3 x 3 与y lg x 3 lg x 3 的定义域相同 2 log2 3 2 2log2 3 3 当x 1时 logax 0 4 当x 1时 若logax logbx 则a b 解析 1 错误 函数y lg x 3 x 3 的定义域为 3 3 而函数y lg x 3 lg x 3 的定义域为 3 2 错误 log2 3 2 log232 2log23 且log2 3 无意义 3 错误 当a 1时 logax 0 当0 a 1时 logax 0 4 错误 当a 1 0 b 1时 logax logbx 但a b 答案 1 2 3 4 1 计算 2log510 log50 25 解析 2log510 log50 25 log5100 log50 25 log525 2 答案 2 2 若函数y f x 是函数y ax a 0 且a 1 的反函数 且f 2 1 则f x 解析 由题意知f x logax 又f 2 1 loga2 1 a 2 f x log2x 答案 log2x 3 函数y log 2 a x2 2ax 1 的值域为r 则a的取值范围是 解析 由题意解得 a 1或1 a 2 答案 1 1 2 4 计算 log23 log34 解析 原式 log24 2 2 2 4 答案 4 考向1对数的运算 典例1 1 计算 2 已知loga2 m loga3 n 求a2m n 思路点拨 1 根据乘法公式和对数的运算性质进行计算 2 将对数式化为指数式或直接代入求解 规范解答 1 原式 2 方法一 loga2 m loga3 n am 2 an 3 a2m n am 2 an 22 3 12 方法二 loga2 m loga3 n a2m n am 2 an 2 22 3 12 拓展提升 对数运算的一般思路 1 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后正用对数运算性质化简合并 2 将对数式化为同底数对数的和 差 倍数运算 然后逆用对数的运算性质 转化为同底对数真数的积 商 幂的运算 提醒 在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化 变式训练 2013 常州模拟 1 已知a b 1且logab logba 求logab logba的值 2 求的值 解析 1 a b 1 logba 1 logab logab logba 2 logab logba 2 4 logab logba 2 原式 考向2对数函数的图象及其应用 典例2 1 2013 南通模拟 若函数f x 满足f x 2 f x 且x 1 1 时 f x 1 x2 g x 则函数f x 与g x 在区间 5 10 内的交点个数为 2 已知函数f x 若a b c互不相等 且f a f b f c 则abc的取值范围是 思路点拨 1 根据条件作出两函数在 5 10 上的图象即可求得 2 画出f x 的图象 确定abc的范围 规范解答 1 由题意知f x 为周期函数 t 2 在同一坐标系中作两函数的图象如图可得共14个交点 答案 14 2 作出f x 的大致图象 不妨设a b c 因为a b c互不相等 且f a f b f c 由函数的图象可知10 c 12 且 lga lgb 因为a b 所以lga lgb 可得ab 1 所以abc c 10 12 答案 10 12 拓展提升 应用对数型函数的图象可求解的问题 1 对一些可通过平移 对称变换作出其图象的对数型函数 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点时 常利用数形结合思想 2 一些对数型方程 不等式问题常转化为相应的函数图象问题 利用数形结合法求解 变式训练 1 已知函数f x lnx g x lgx h x log5x 直线y a a 0 与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1 x2 x3 则x1 x2 x3的大小关系是 解析 在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线y a a 0 易知x1 x3 x2 答案 x1 x3 x2 2 函数y log2 x 1 的单调递减区间为 单调递增区间为 解析 作出函数y log2x的图象 再将其关于y轴对称 两支共同组成函数y log2 x 的图象 再将图象向左平移1个单位长度就能得到函数y log2 x 1 的图象 如图所示 由图知 函数y log2 x 1 的单调递减区间为 1 单调递增区间为 1 答案 1 1 考向3对数函数的性质及应用 典例3 已知函数f x 1 求函数f x 的定义域 2 若函数f x 的定义域关于坐标原点对称 试讨论它的奇偶性和单调性 思路点拨 1 利用真数大于0构建不等式 但要注意分类讨论 2 先由条件求出a的值 再讨论函数的奇偶性和单调性 规范解答 1 0 x 3a 1 x 2a 1 0 所以 当3a 1 2a 1 即a 0时 定义域为 2a 1 3a 1 当3a 1 2a 1 即a 0时 定义域为 3a 1 2a 1 2 函数f x 的定义域关于坐标原点对称 当且仅当 2a 1 3a 1 a 2 此时 f x 对于定义域d 5 5 内任意x x d f x f x 所以f x 为奇函数 当x 5 时 对任意5 x1 x2 有f x1 f x2 而 x1 5 x2 5 x1 5 x2 5 10 x2 x1 0 所以f x1 f x2 0 f x 在 5 内单调递减 由于f x 为奇函数 所以f x 在 5 内单调递减 互动探究 将本例中函数改为 f x 求f x 的定义域和值域 解析 0 x 1 x 1 0 x 1或x 1 f x 的定义域为 1 1 f x f x 函数f x 是奇函数 当x 1时 又y log2x在 0 上为增函数 f x log21 0 即当x 1时 f x 0 由函数f x 是奇函数知 当x 1时 f x 0 因此函数f x 的值域是 0 0 拓展提升 1 利用对数函数的性质比较对数值的大小 1 同底数对数值 可直接利用其单调性进行判断 2 既不同底数 又不同真数的对数值 先引入中间量 如 1 0 1等 再利用对数函数的性质进行比较 3 底数不同 真数相同的对数值 可利用函数图象或比较其倒数大小来进行 2 利用对数函数的性质研究对数型函数的性质求解方法与一般函数性质的求解方法一致 但要注意三方面的问题 一是定义域 二是底数与1的大小关系 三是复合函数的构成 即它是由哪些基本初等函数复合而成的 变式备选 已知f x loga ax 1 a 0 且a 1 1 求f x 的定义域 2 求函数f x 的单调性 解析 1 由ax 1 0 得ax 1 当a 1时 x 0 当0 a 1时 x 0 所以当a 1时 f x 的定义域为 0 当0 a 1时 f x 的定义域为 0 2 当a 1时 设0 x1 x2 f x1 f x2 故当a 1时 f x 在 0 上是增函数 同理 当0 a 1时 f x 在 0 上也是增函数 创新体验 数形结合解决恒成立问题 典例 2012 新课标全国卷改编 当0 x 时 4x logax 则a的取值范围是 思路点拨 规范解答 由0 x 且logax 4x 0知0 a 1 在同一坐标系中画出函数y 4x 0 x 和y logax 0 a 1 0 x 的图象 如图所示 由图象知 要使当0 x 时 4x logax 只需 a2 又0 a 1 a 1 答案 1 思考点评 1 方法感悟 本题充分体现了数形结合思想和函数思想在解题中的应用 即通过函数图象的关系得到两函数值之间的关系 2 技巧提升 此类不等式恒成立问题无法分离参数 此时常用数形结合的方法求解 解题的关键是正确画出函数在给定区间上的图象 使之符合要求 然后根据图象找出不等关系 1 2012 安徽高考改编 log29 log34 解析 log29 log34 4 答案 4 2 2012 天津高考改编 已知a 212 b c 2log52 则a b c的大小关系为 解析 a 212 b c log54 1 b 2 0 c 1 a b c 答案 a b c 3 2012 北京高考 已知函数f x lgx 若f ab 1 则f a2 f b2 解析 f ab lg ab 1 ab 10 f a2 f b2 lga2 lgb2 lg a2b2 lg100 2 答案 2 4 2013 苏州模拟 已知函数f x