2011年高考数学江苏卷理科(word完美解析版).doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式：（1）样本数据的方差,其中（2）直柱体的侧面积，其中为底面周长，是高（3）柱体的体积公式，其中为底面面积，是高试卷总分200 试卷时间 150一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填在题中横线上)1.已知集合A-1,1,2,4，B-1,0,2，则AB_.【答案】-1,2【解析】由交集的定义知AB-1,1,2,4-1,0,2-1,2.【失分警示】把“”，“”意义混淆，导致求解结果错误.【评析】本题主要考查“”的含义的理解及运算能力，正确识读“”符号的含义是解答本题的关键，属容易题.2.函数的单调增区间是_.【答案】【解析】要使有意义，则2x+10，即x-，而y为(0，+)上的增函数，当x-时，u2x+1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是.【失分警示】忽视2x+10这一约束条件是失分的主要原因.【评析】本题主要考查复合函数单调性的判断方法及定义域的求解，考查学生逻辑推理及运算求解能力，属中等难度试题.3.设复数z满足i(z+1)-3+2i(i为虚数单位)，则z的实部是_.【答案】1【解析】解法一：i(z+1)-3+2i ， z-1-(-3i-2)-11+3i， 故z的实部是1.解法二：令za+bi(a，bR)，由i(z+1)-3+2i得i(a+1)+bi-3+2i，-b+(a+1)i-3+2i，b3，a1，故z的实部是1.【失分警示】误区一：误认为i21；误区二：忽视复数相等的条件，运算失误导致求解结果错误.【评析】本题考查复数的有关概念及运算，将复数问题实数化是解决此类问题的关键，属容易题.4.根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为_.【答案】3【解析】由已知可知，m为a，b中的最大值，故最后输出的m值为3.【失分警示】读不懂程序语句，导致求解结果错误.【评析】本题主要考查程序语句，对程序中条件语句的正确理解是解答本题的关键，属容易题.5.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_.【答案】【解析】从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数的种数为6(种)，其中一个数是另一个数的两倍的数对为1,2和2,4.故符合条件的概率为.【失分警示】把误认为是导致本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查组合知识和古典概型，考查学生逻辑能力和分析问题、解决问题的能力，属容易题.6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2_.【答案】【解析】记星期一到星期五收到的信件数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则s2(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2+(x5-)2(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2.【失分警示】误区一：求解错误.误区二：方差公式记忆错误导致s2求解结果错误.【评析】本题主要考查方差的公式，考查学生的运算求解能力.公式记忆准确，运算无误是解答本题的关键，属中等难度试题.7.已知tan2，则的值为_.【答案】【解析】【失分警示】两角和或差的正切公式记忆错误是学生丢分的主要原因.【评析】本题主要考查两角和或差的正切公式的应用，考查学生的运算求解能力，本题中由tan2正确求得tanx是解答本题的关键，属中等难度试题.8.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是_.【答案】4【解析】假设直线与函数f(x)的图象在第一象限内的交点为P，在第三象限内的交点为Q，由题意知线段PQ的长为OP长的2倍.假设P点的坐标为，则|PQ|2|OP|4.当且仅当，即x0时，取“”.【失分警示】误区一：将线段PQ的长误认为是|PQ|2.误区二：将|OP|最小值误认为是所求线段PQ长的最小值.【评析】本题考查两点间距离公式及均值定理等相关知识，考查学生分析问题、解决问题的能力，将最值问题转化为均值定理来求解是解答本题的关键，属中等难度试题.9.函数f(x)Asin(x+)(A，为常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是_.【答案】【解析】由图可知A，T.又T，2.根据函数图象的对应关系得2+k(kZ)，k-(kZ).取，则f(x)sin，f(0)sin.【失分警示】误区一：误将作为函数的周期，导致求出错.误区二：不能根据题意正确求得的值，进而导致函数解析式求错，从而求错f(0)的值.【评析】本题主要考查yAsin(x+)的图象与性质以及三角函数周期公式T (0)的求法，属理解层次，由图象准确确定的值是解答本题的关键.10.已知，是夹角为的两个单位向量，-2，k+.若0，则实数k的值为_.【答案】【解析】由题意0即有(-2)(k+)0，k+(1-2k) -20.又|1，k-2+(1-2k)cos0，k-2，k.【失分警示】误区一：向量内积的定义理解不到位；误区二：运算失误，例如将cos误认为是导致求解结果错误.【评析】本题主要考查向量内积的运算，考查学生的运算求解能力.属中等难度试题.11.已知实数a0，函数f(x)若f(1-a)f(1+a)，则a的值为_.【答案】-【解析】分类讨论：(1)当a0时，1-a1.这时f(1-a)2(1-a)+a2-a；f(1+a)-(1+a)-2a-1-3a.由f(1-a)f(1+a)得2-a-1-3a，解得a-，不符合题意，舍去.(2)当a1,1+a0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M.过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_.【答案】+【解析】设P(x0，)(x00), f (x)(ex)ex，点P处的切线l，其斜率为f (x0)，过点P作l的垂线l，其斜率为-.直线l的方程为，令x0得直线l的方程为，令x0得由题意令当x00，函数g(x0)为增函数.当x01时， g (x0)0时t的最大值.【失分警示】误区一：导数的几何意义掌握不到位，不能求出yM，yN.误区二：求得函数关系tg(x0)后，不能利用导数求t的最值.【评析】本题考查导数的几何意义、直线方程、导数的应用等相关知识，知识点较多，难度偏大，考查学生的运算求解能力、分析问题解决问题的综合能力.13.设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_.【答案】【解析】a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，又a11，a3q，a5q2，a7q3，又a2，a4，a6成公差为1的等差数列，a4a2+1，a6a2+2.由1a1a2a3a7，即有解得q，故q的最小值为.【失分警示】不理解题意，无法获得相应的不等关系是学生失分的主要原因.【评析】本题主要考查等差、等比数列的通项公式，考查学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，属中等难度试题.14.设集合，B(x，y)|2mx+y2m+1，x，yR.若AB，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】由A可知m2，解得m0或m.由题意知，若AB，则有(1)当2m+12，即m时，圆心(2,0)到直线x+y2m+1的距离为d1|m|，化简得2m2-4m+10，解得1-m1+，所以1-m2，即m1时，圆心(2,0)到直线x+y2m的距离为d2|m|，化简得m2-4m+20，解得2-m2+，所以1m2+.综上可知：满足题意的m的取值范围为.【失分警示】读不懂题意，分析不彻底是解答本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查圆与直线的位置关系，考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.能根据圆心与直线的位置关系分类讨论是解答本题的关键，本题属较难题目.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.()若sin2cos A，求A的值；()若cos A，b3c，求sin C的值.【解析】()由题设知sin Acos+cos Asin2cos A.从而sin Acos A，所以cos A0，tan A.因为0Ac，直接求解.当然方法二要注意到ac，角C不可能是钝角，不需要分类讨论.【评析】本题考查同角三角函数的关系，两角和公式，正弦定理，余弦定理，对运算能力有较高要求，对解题程序设计能力考查较为深入，不同的思路运算量差别较大.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点.求证：()直线EF平面PCD；()平面BEF平面PAD.【解析】()在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.()连结BD.因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形.因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.【失分警示】证明过程中关键步骤省略或遗漏常导致无谓失分，此外学生对如何证面与面垂直认识模糊、思路不清也是失分的原因之一.【评析】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定、性质，对考生的文字或符号表达能力、空间想象能力、推理论证能力均有较高要求，难度中等偏难.17.(本小题满分14分)请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AEFBx(cm).()某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？()某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得ax，h (30-x)，0x0；当x(20,30)时，V0，求证：PAPB.【解析】()由题设知，a2，b，故M(-2,0)，N(0，-)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k.()直线PA的方程为y2x，代入椭圆方程得+1，解得x，因此P，A.于是C，直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x-y-0.因此，.()解法一：将直线PA的方程ykx代入+1，解得x.记，则P(，k)，A(-，-k).于是C(，0).故直线AB的斜率为，其方程为y(x-)，代入椭圆方程得(2+k2)x2-2k2x-2(3k2+2)0，解得或x-.因此.于是直线PB的斜率因此k1k-1，所以PAPB.解法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x10，x20，x1x2，A(-x1，-y1)，C(x1,0).设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以从而k1k+12k1k2+12因此k1k-1，所以PAPB.【失分警示】第()小问常见错误是联解直线AP与直线MN的方程组.求出交点坐标(用k表示)，再由中点坐标公式构建关于k的方程求k.运算复杂，步骤较多，易造成计算错误或耗时失分.处理第()小问思维受阻后，如果利用第()小问的结论通过面积法求点P到直线AB的距离，事实上并不太容易，需要联解方程组,当然利用kPB-可较快求出B点坐标.【评析】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，是解析几何的经典题型.对考生的运算能力有较高的要求，对考生的心理素质的要求也较高，属难题.19.(本小题满分16分)已知a，b是实数，函数f(x)x3+ax，g(x)x2+bx, f (x)和g(x)分别是f(x)和g(x)的导函数.若f (x)g(x)0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致.()设a0.若f(x)和g(x)在区间-1，+)上单调性一致，求b的取值范围；()设a0，故3x2+a0，进而2x+b0，即b-2x在区间-1，+)上恒成立，所以b2.因此b的取值范围是2，+).()令f (x)0，解得x.若b0，由a0得0(a，b).又因为f (0)g(0)ab0，所以函数f(x)和g(x)在(a，b)上不是单调性一致的.因此b0.现设b0.当x(-，0)时，g(x)0.因此，当x时， f (x)g(x)0.故由题设得a-且b-，从而-a0，故函数f(x)和g(x)在上单调性一致.因此|a-b|的最大值为.【失分警示】当ak时，Sn+k+Sn-k2(Sn+Sk)都成立.()设M1，a22，求a5的值；()设M3,4，求数列an的通项公式.【解析】()由题设知，当n2时，Sn+1+Sn-12(Sn+S1)，即(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)2S1.从而an+1-an2a12.又a22，故当n2时，ana2+2(n-2)2n-2.所以a5的值为8.()由题设知，当kM3,4且nk时，Sn+k+Sn-k2Sn+2Sk且Sn+1+k+Sn+1-k2Sn+1+2Sk，两式相减得an+1+k+an+1-k2an+1，即an+1+k-an+1an+1-an+1-k.所以当n8时，an-6，an-3，an，an+3，an+6成等差数列，且an-6，an-2，an+2，an+6也成等差数列.从而当n8时，2anan+3+an-3an+6+an-6，(*)且an+6+an-6an+2+an-2.所以当n8时，2anan+2+an-2，即an+2-anan-an-2.于是当n9时，an-3，an-1，an+1，an+3成等差数列，从而an+3+an-3an+1+an-1，故由(*)式知2anan+1+an-1，即an+1-anan-an-1.当n9时，设dan-an-1.当2m8时，m+68，从而由(*)式知2am+6am+am+12，故2am+7am+1+am+13.从而2(am+7-am+6)am+1-am+(am+13-am+12)，于是am+1-am2d-dd.因此，an+1-and对任意n2都成立.又由Sn+k+Sn-k-2Sn2Sk(k3,4)可知(Sn+k-Sn)-(Sn-Sn-k)2Sk，故9d2S3且16d2S4.解得a4d，从而a2d，a1.因此，数列an为等差数列.由a11知d2.所以数列an的通项公式为an2n-1.【失分警示】使用Sn与an之间的关系式时，易忽略n2的条件.此外，对题意的理解困难导致思维受阻也是本题的失分之处.【评析】本题考查数列的概念，数列的通项与前n项和之间的关系，以及等差数列、等比数列的基础知识，对考生的分析探究能力、运算能力、逻辑推理能力均有较高要求.数学II（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共2页，均为解答题（第21题第23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2).圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上).求证：ABAC为定值.【解析】证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上.故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径.从而ABDACE.所以BDCE，于是.所以ABAC为定值.【失分警示】两圆内切时，连心线过切点是这类问题的隐含的重要结论，容易忽视导致思路不畅.【评析】本题考查两圆内切的性质，直径所对的圆周角为直角，三角形相似等基础知识，要作的辅助线虽多但为常规辅助线，难度不大.(本小题满分10分)B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A，向量.求向量，使得A2.【解析】A2.设.由A2，得，从而解得