习题2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题精析详解上海 理.doc

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（上海理工农医类）试题精析详解一、填空题（4分12=48分）1、函数的反函数=_.【思路点拨】本题考查了互为反函数的概念，只要根据求反函数的三步曲即可.【正确解答】，得（）.所求反函数为：（）.【解后反思】要会求一个函数的反函数，并注意定义域.2、方程的解是_.【思路点拨】本题考查了指数方程的求法，通过换元法求解.【正确解答】令，原方程化为：，得或（舍）.由此可得.【解后反思】用换元的方法时，注意定义域的变化，求出解后要进行验证，以免出错.3、直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是_.【思路点拨】本题考查了数量积的坐标表示，可根据其定义来解.【正确解答】设，由数量积公式可知：为所求轨迹方程.【解后反思】一般地 ，则，.4、在的展开式中，的系数是15，则实数=_.【思路点拨】本题考查了二项式定理的指定项的系数，可根据通项公式处理.【正确解答】展开式的一般项为，令r=7,的系数为，解得.【解后反思】要注意二项式展开式的二项式系数和某一项系数的区别与联系.5、若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是_.【思路点拨】本题考查了双曲线的几何性质，因为已知了焦点坐标，就确定了实轴，由渐近线方程可确定，联想隐含条件的运用就可解决.【正确解答】由题意知：，且，又因为，解得，所求双曲线方程为：.【解后反思】圆锥曲线的定义及简单性质是考查的基础知识，因此，夯实基础是取得好成绩的必要条件.6、将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是_.【思路点拨】本题考查了参数方程，化为普通方程，直接消元，产生x,y的关系式，化简即可.【正确解答】，整理后得：【解后反思】按大纲要求，要掌握圆和椭圆的参数方程并能进行简单的应用，一般地与圆和椭圆上的点有关问题时，用参数方程能达到消元的目的，便于问题的解决，有时还要理解参数的几何意义及取值范围.7、计算：=_.【思路点拨】本题考查了数列的极限求法，是属于（）型，由分母分子都除以进行求极限.【正确解答】.【解后反思】要掌握数列常规极限的方法.8、某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是_.（结果用分数表示）【思路点拨】本题考查了等可能事件的概率的求法.可直接根据定义，找到基本事件数代入公式便得.【正确解答】【解后反思】要了解等可能事件概率的定义，会用排列、组合的基本公式计算的一些等可能事件的概率.9、在中，若，AB=5，BC=7，则的面积S=_.【思路点拨】本题主要考查解斜三角形的相关知识和运算能力.可画出草图，设法求出AC.【正确解答】由三角形余弦公式得：，解得（舍）或3.因此，.【解后反思】要注意正、余弦定理的灵活运用.本题可视为关于AC的方程，求出AC的目的，在于求的面积，若利用正弦定理求AC就较繁了.最优解总是我们追求的目标.10、函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_.【思路点拨】本题考查区间上的三角函数的图象和性质，考查数形结合的能力.可通过正弦值的符号写出分段函数，再通过数形结分析出的取值范围.【正确解答】，由图象可知，.【解后反思】要熟悉含有绝对值的函数图象的作法.即由函数的图象作出的图象.11、有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是_.【思路点拨】借助棱柱的拼接的可能性考查学生的分析问题和解决问题的能力，而拼接中底面积不变是关键，只要考虑侧面积的可能情形中最小的一种图形即可.【正确解答】显然，直三棱柱底面为直角三角形，面积为，每个侧面的面积分别为6，8，10，拼接后每个三棱柱或四棱柱底面积是相同的，只需要比较侧面积.拼接为三棱柱的可能的总侧面积为32或36，拼接为四棱柱后可能的总侧面积为28【解后反思】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力和动手能力的实验题，具有开放性，不确定性等特点，是培养创新能力的好题，也是研究性学习成果的展示题.12、用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵.对第行，记，.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=_.【思路点拨】本题借助数阵考查学生的观察能力和运算能力，要抓住逐项特征：第一行的和相等，探索其规律，符号因子的处理是一难点.【正确解答】由题意可知，每一行的和为相等的时，.【解后反思】数学学习中的数感很重要，变化中不变的探索与发现是当今高考的一个方向，它是培养创新人才的一个重要载体，在学习中要留心，遇到此类问题时要细心品味.二、选择题（4分4=16分）13、若函数，则该函数在上是（ ）A单调递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值【思路点拨】本题是考查复合函数性质，只要理清构成复合的各个函数的性质就不难解决.【正确解答】为增函数，在上是减函数，因此是减函数，没有最大值和最小值，选A.【解后反思】函数的图象和性质是高考的一个重点，通过复合可考多个知识点，达到考一查多的功能，要注意复合函数的定义域的变化，教材中的练习题要理解，把握基础，发展能力.14、已知集合，则等于（ ）A BC D【思路点拨】本题是考查具有绝对值不等式的解法和集合的运算.【正确解答】，.选B【解后反思】可采用直接法化简各个集合并注意的隐含条件.在计算时，注意的提示作用.，如果去分母时忽视了，就会造成错误，而求交集时可用数轴标或文氏图求解.15、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在【思路点拨】本题考查抛物线过焦点弦的性质.而过此点弦的最小值是通径长（2p）然后与之比较.【正确解答】当过焦点的直线与轴垂直时，与抛物线两焦点的横坐标之和为40,只能x=,于是y=. 点P的坐标是(,) (2) 直线AP的方程是xy+6=0. 设点M(m,0),则M到直线AP的距离是. 于是=,又6m6,解得m=2. 椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有 d2=(x2)2+y2=x4x2+4+20x2=(x)2+15,由于6m6, 当x=时,d取得最小值【解后反思】解析几何的精髓是几何问题代数化，而方程与函数的思想又是精髓中的精髓，独立的两个条件就是方程组，（问题1），而仅有一个条件就是函数，随之而来的函数性质必是考查的重点.20、（本题满分14分）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？【思路点拨】本题利用等差、等比数列的知识考查其数学的应用能力和运算能力，而构建数学模型是解决问题的关键，遇到这类问题时，关键词“增加”“增长率”的正确理解起决定性的作用.【正确解答】解 (1)设中低价房面积形成数列an,由题意可知an是等差数列, 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n, 令25n2+225n4750,即n2+9n-1900,而n是正整数, n10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400(1.08)n-10.85. 由题意可知an0.85 bn,有250+(n-1)50400(1.08)n-10.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6. 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【解后反思】数学应用问题是近几年高考的热点之一，似乎是每年的必考题，平时要注意数学应用意识的培养，碰到这类问题时不要被繁琐的数据和冗长的文字说明所惧，应“取其精华”读通读懂题目，即解题的归宿应该在回答实际问题上.21、（本题满分16分）对定义域是、的函数、，规定：函数.（1）若函数，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明.【思路点拨】本题通过自定义函数考查学生如何理解函数，如何在给出具体函数下处理相关函数性质的能力，只要遵循其规则，借助给定函数的性质即可解决.【正确解答】(1)h(x)= x(-,1)(1,+) 1 x=1 (2) 当x1时, h(x)= =x-1+2, 若x1时, 则h(x)4,其中等号当x=2时成立若x1时, 则h(x) 0,其中等号当x=0时成立函数h(x)的值域是(-,014,+)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,=则g(x)=f(x+)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x, =,g(x)=f(x+)= 1+sin2(x+)=1-sin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.【解后反思】自定义函数是近年高考常见题型，必须深刻理解其定义的含义就不难解决.22、（本题满分18分）在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数，对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点.（1）求向量的坐标；（2）当点在曲线C上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，.求以曲线C为图象的函数在上的解析式；（3）对任意偶数，用表示向量的坐标.【思路点拨】本题借助数函数上的整点构成的数列，考查对称点的求法.借助函数的一些性质考查学生的以思维为核心的综合能力.找出关于点的对称点的坐标是解决这一问题的关键.【正确解答】(1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y), A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y), =2,4. (2) =2,4,f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x(-2,1时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x(1,4时,g(x)=lg(x-1)-4.另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,若3 x26,则0 x2-33,于是f(x2)=f(x2