第十讲 不定方程.doc

不定方程 方程的个数少于未知数的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组）。它的解是不定的。如果没有给定不定方程的某种限制条件，那么它就有无限多个解。本讲中所涉及的不定方程根据题目的要求和实际情况把解局限在一定的范围内，它可能有解，也可能无解，如果有解，也只能是有限个解。但是，限制的条件，有时很隐蔽，需要我们去认真思考。例1 工程队要铺78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子，问两种管子各用多少根？例2在一个盒子里装有蟋蟀和蜘蛛若干只，共46只脚，求蟋蟀和蜘蛛各有多少只？例3将601个球分别装在大小两种包装盒里，大盒每盒装5个，小盒每盒装3个。求使用的包装盒的个数有多少种不同的安排方法？例4将426个乒乓球装在三种盒子里。大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个。现共装了24盒，求用了多少个大盒？【例5】小李同学把他出生的月份乘以，再把出生日期乘以，把他们加起来是，试求小李生日是哪一天？说明：通过以上例题说明，小学生解不定方程，应该紧紧结合题意及数字特征，灵活运用学习过的知识来确定解的限制范围。【例6】一个两位数，各位数字和的5倍比原数大10，求这个两位数。【例】小明准备到商店买角钱一支的铅笔和角钱一支的圆珠笔，两种笔都要买，并且刚好花了元钱，问小明铅笔与圆珠笔各买了几支？例8有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内.把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23.请问这三张牌的数字是什么？ 例9采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个，B物几个？ 例10王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问他每种各买了多少包？ 练习：1.小明问小强：“你养了几只兔和鸡？”小强说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？”2.李明带6元钱到花店买花.如果月季花1元钱一盆，茉莉花8角钱一盆，要把6元钱刚好用完.问能买月季花和茉莉花各多少盆？3.甲种铅笔7分钱一支，乙种铅笔3分钱一支，张明用6角钱恰好买两种不同的铅笔共多少支？4.李大伯下山去小商店买东西.下午1时离开家，先走了一段山路，来到山脚下，又走了一段平路，到了小商店.半小时后，他离开商店沿原路返回家，下午3时半到家.已知平地每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米.请问：李大伯去商店买东西走了多少千米的路？5.大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人，问大、小汽车各要几辆才能使每个人都上车且每个车上无空座？ 6、有一个两位数，加上36以后，十位上的数字与个位上的数字的位置正好交换，求这个两位数。 7、甲乙两家养鸡106只，甲家养的鸡中，公鸡占；乙家养的鸡中，母鸡占。甲乙两家共养母鸡多少只？ 8、学校将70人分成12个小组，有8人一组的，有7人一组的，有5人一组的。求8人一组的共有多少组？答案:分析 例1、问3米和5米长的管子各用多少根，设3米长的管子用X根，那5米长的管子用的根数呢，如果用共78米这个条件表示出5米长的管子的根数，列方程时则没有其他等量关系了，只能设其为Y根，列出一个含两个未知数的方程，即不定方程。解：设3米长的管子用X根，5米长的管子用Y根。 3X+5Y=78 3X=78-5Y X=（78-5Y）3 X=根据题意，X一定是一个整数，且不等于0。X是整数，78-5Y的值一定是3的倍数，78已经是3的倍数，则5Y的值也一定是3的倍数，那么Y=3、6、9、12、15，当Y=18时，5Y的值大于78，一符合题意。所以Y可能是3、6、9、12、15这五种可能，相应的X也有五种可能，从而得出原方程有下面五组解。X=21 X=16 X=11 X=6 X=1 Y=3 Y=6 Y=9 Y=12 Y=15 在本例中，只列一个方程，却包含两个未知数，结果也不唯一，这样的方程就是不定方程。在解不定方程时，可将方程变形为用代数式表示出其中一个未知数，再根据题意及数字特点讨论其可能的解。例2解：设蟋蟀有X只，蜘蛛Y只 6X8Y=46 6X=468Y X= X、Y均为整数，是一个整数，则468Y的值是6的倍数。因为466余4, 所以8Y6也应该余4, 那么8几6余4呢?可以是2、5。如果再大些则468Y，不符合题意。解得: 答：蟋蟀有5只，蜘蛛2只；或者蟋蟀有1只，蜘蛛5只。例3解：设大盒用X个，小盒用Y个，根据题意列方程 5X+3Y=6015X=6013YX=X、Y均为整数，是一个整数，则6013Y的值是5的倍数。601除以5余1，3Y除以5也应该余1，则Y=2、7、12、197，Y的值是一个首项是2，公差是5的等差数列，都有一个与之相对应的X值。共有40种不同的安排方法。说明：本题中讨论Y的取值，实质是从同余的角度来理解，若用同余的知识来讨论会更快捷一些，有兴的同学可以试一试。例4、分析 题目中大、中、小三种盒子，根据共装24盒，可设X个大盒，Y个中盒，小盒个数用代数式24-X-Y来表示。再根据共有426个乒乓球这个等量关系列方程。解： 设用X个大盒，Y个中盒，那么用小盒24-X-Y个。列方程有 25X+20Y+16（24-X-Y）