高考数学总复习 （教材扣夯实双基+考点突破+典型透析）第七章第7课时 空间向量及其运算课件.ppt

第7课时空间向量及其运算 基础梳理 1 空间向量的有关定理 1 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使得a b 2 共面向量定理 如果两个向量a b不共线 那么向量c与向量a b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 x y 使c xa yb 思考探究若a与b确定平面为 则表示c的有向线段与 的关系是怎样的 提示 可能与 平行 也可能在 内 3 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得 其中 a b c 叫做空间的一个 2 空间向量的数量积及运算律 1 数量积及相关概念 两向量的夹角 基底 p xa yb zc 互相垂直 0 a b 结合律 a b 交换律 a b 分配律 a b c 3 空间向量的坐标表示及应用 1 数量积的坐标运算设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a1b1 a2b2 a3b3 a b b a a b a c 2 共线与垂直的坐标表示设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 r a b a b均为非零向量 3 模 夹角和距离公式设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 课前热身1 若向量 a b c 是空间的一个基底 向量m a b n a b 那么可以与m n构成空间另一个基底的向量是 a ab bc cd 2a 解析 选c a b a b分别与a b 2a共面 它们分别与a b a b均不能构成一组基底 a 1b 2c 3d 4解析 选b 其中 为正确命题 3 已知向量a 4 2 4 b 6 3 2 则 a b a b 的值为 解析 a b 10 5 2 a b 2 1 6 a b a b 20 5 12 13 答案 13 考点1空间向量的线性运算 题后感悟 用已知向量表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则 在立体几何中要灵活应用三角形法则 向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立 备选例题 教师用书独具 变式训练 考点2共线 共面向量定理的应用已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 求证 1 e f g h四点共面 2 bd 平面efgh 题后感悟 应用共线向量定理 共面向量定理证明点共线 点共面的方法比较 备选例题 教师用书独具 考点3空间向量数量积的应用如图所示 已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a 点m n分别是ab cd的中点 1 求证 mn ab mn cd 2 求mn的长 3 求异面直线an与cm所成角的余弦值 备选例题 教师用书独具 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 bc1 ab1 bc1 a1c 求证 ab1 a1c 变式训练3 如图所示 平行六面体abcd a1b1c1d1中 以顶点a为端点的三条棱长都为1 且两两夹角为60 1 求ac1的长 2 求bd1与ac夹角的余弦值 考点4空间向量的坐标运算 题后感悟 1 求向量的数量积的方法 设向量a b的夹角为 则a b a b cos 若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则a b x1x2 y1y2 z1z2 根据已知条件 准确选择上述两种方法 可简化计算 2 求向量模的方法 备选例题 教师用书独具 方法技巧1 利用坐标运算解决立体几何问题 降低了推理难度 可以避开一些较复杂的线面关系 但复杂的代数运算也容易导致出错 因此 在解决问题时 可以灵活的选用解题方法 不要生搬硬套 2 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理 求两点间距离或某一线段的长度 一般用向量的模来解决 解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零 求异面直线所成的角 一般可以转化为两向量的夹角 但要注意两种角的范围不同 最后应进行转化 失误防范1 向量的数量积满足交换律 分配律 但不满足结合律 即a b b a a b c a b a c成立 a b c a b c 不一定成立 2 非零向量a b的夹角记作 a b 其范围是 0 a b同向 其夹角是0 a b反向 其夹角是 结合具体图形求夹角时 一定要注意向量的方向 命题预测从近几年的高考试题来看 空间向量的数量积及应用在高考中频繁出现题型既有选择题 也有解答题 选择题一般考查数量积的概念及简单应用 解答题中一般考查学生综合应用知识解决问题 处理问题的能力 注重考查学生的运算能力 预测2013年高考仍将以空间向量的数量积为考查点 重点考查学生的运算 分析问题 解决问题的能力 规范解答 本题满分12分 2011 高考陕西卷 如图 在 abc中 abc 60 bac 90 ad是bc上的高 沿ad把 abd折起 使 bdc 90 解 1 证明 折起前ad是bc边上的高 当 abd折起后 ad dc ad db 2分又db dc d ad 平面bdc ad