高中数学 8.8曲线与方程(含轨迹问题)配套课件 北师大版.ppt

第八节曲线与方程 含轨迹问题 三年4考高考指数 了解曲线与方程的对应关系 1 求点的轨迹 轨迹方程是高考的重点 一般用直接法 定义法或相关点法求解 所求轨迹一般为圆锥曲线 2 经常在解答题的第一问中出现 属中低档题目 有时也在选择 填空题中出现 1 曲线与方程一般地 在平面直角坐标系中 如果某曲线c 看作满足某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上点的坐标都是 2 以这个方程的解为坐标的点都在 那么 这条曲线叫作 这个方程叫作 这个方程的解 曲线上 方程的曲线 曲线的方程 即时应用 1 思考 在方程的曲线与曲线的方程的定义中 若只满足 曲线上点的坐标都是这个方程的解 那么这个方程是该曲线的方程吗 提示 不一定是 因为只满足 曲线上点的坐标都是这个方程的解 说明这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部分 而非整个方程的曲线 2 思考 在方程的曲线与曲线的方程的定义中 若只满足 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 那么该曲线是这个方程的曲线吗 提示 不一定是 因为只满足 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 说明这个方程可能只是部分曲线的方程 而非整个曲线的方程 3 方程x2 xy x所表示的曲线是 解析 因为方程x2 xy x可化为 x x y 1 0 所以x 0或x y 1 0 表示两条直线 因此方程x2 xy x表示的曲线为两条直线 答案 两条直线 2 圆锥曲线的共同特征及求曲线方程的步骤 1 圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到 的距离与它到 的距离之比为定值e 一个定点 一条定直线 0 e 1 e 1 e 1 椭圆 双曲线 抛物线 2 求曲线方程的步骤 即时应用 1 已知动点p到定点f 1 0 的距离与到定直线l x 4的距离之比是 则点的轨迹是 其方程为 2 已知点a 2 0 b 3 0 动点p x y 满足 x2 1 则点p的轨迹方程是 3 已知 abc的顶点b 0 0 c 5 0 ab边上的中线长 cd 3 则顶点a的轨迹方程为 解析 1 由圆锥曲线的共同特征知点p的轨迹为椭圆且焦点在x轴上 c 1 a 2 方程为 2 由题意得 2 x y 3 x y 所以 2 x y 3 x y 又因为 x2 1 所以 2 x y 3 x y x2 1 化简得 y2 5x 5 0 3 设点a x y 因为b 0 0 所以ab的中点d 又c 5 0 cd 3 所以化简得 x 10 2 y2 36 又 abc中的三点a b c不能共线 所以去掉点 4 0 和 16 0 答案 1 椭圆 2 y2 5x 5 0 3 x 10 2 y2 36 除去点 4 0 和 16 0 3 直线与圆锥曲线的交点设曲线c1 f x y 0 c2 g x y 0 m x0 y0 是曲线c1与c2的一个交点 故求曲线交点即求方程组的实数解 f x0 y0 0g x0 y0 0 即时应用 1 曲线与曲线c2 y 1 x 1 2的公共点的个数是 2 直线y 2x 3与抛物线y 2x2 x相交于a b两点 则 ab 解析 1 由消去x得4y2 y 3 0 1 2 4 4 3 49 0 当y1 时得同理可得y2 1时得x 1 所以公共点的个数是3 2 设a x1 y1 b x2 y2 由消去y 整理得2x2 x 3 0 x1 x2是关于x的方程 的两根 x1 x2 x1x2 又 ab 其中k 2 则有答案 1 3 2 直接法求轨迹方程 方法点睛 1 直接法如果动点运动的轨迹简单明确 易于表示成含x y的等式 从而得到轨迹方程 这种方法称之为直接法 2 应注意的问题 1 在用直接法求轨迹方程时 在化简的过程中 有时破坏了方程的同解性 此时就要补上遗漏的点或删除多余的点 这是不能忽视的 2 若方程的化简过程是恒等变形 则最后的验证可以省略 例1 1 已知点m n为两个定点 mn 6 且动点p满足 6 求点p的轨迹方程 2 已知直角坐标平面上的点q 2 0 和圆c x2 y2 1 动点m到圆c的切线长与 mq 的比等于常数 0 求动点m的轨迹方程 解题指南 1 先建立平面直角坐标系 设出动点p的坐标 依据 6得出轨迹方程 2 可设出动点m的坐标 依据动点m到圆c的切线长与 mq 的比等于常数 0 即可得出方程 规范解答 1 以点m n所在的直线为x轴 mn的中点o为坐标原点 建立平面直角坐标系 则m 3 0 n 3 0 设p x y 则 3 x y 3 x y 3 x y 3 x y 又因为 6 所以 3 x y 3 x y 6 化简整理得 x2 y2 15 2 设直线mn切圆c于n点 则动点m的集合为 p m mn mq 因为圆c的半径 cn 1 所以 mn 2 mc 2 cn 2 mc 2 1 设点m的坐标为m x y 则化简整理得 2 1 x2 y2 4 2x 1 4 2 0 0 互动探究 本例 2 中的条件不变 求动点m的轨迹 解析 由例题解析可知 曲线的方程为 2 1 x2 y2 4 2x 1 4 2 0 因为 0 所以当 1时 方程化为4x 5 0 它表示一条直线 当 1时 方程化为 它表示圆心为半径为的圆 反思 感悟 1 从两个题目的求解可以看出 求轨迹的方程 其关键是建立平面直角坐标系后寻找等量关系 从而得出方程 2 求解轨迹方程时 一定要注意检验 以防产生增根或漏解 变式备选 在平面直角坐标系xoy中 点b与点a 1 1 关于原点o对称 p是动点 且直线ap与bp的斜率之积等于 求动点p的轨迹方程 解析 因为点b与点a 1 1 关于原点o对称 所以点b的坐标为 1 1 设点p的坐标为 x y 由题意得化简得x2 3y2 4 x 1 故动点p的轨迹方程为x2 3y2 4 x 1 定义法求轨迹方程 方法点睛 定义法求轨迹方程时 若动点与定点 定直线间的等量关系满足圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义 则可直接根据定义先确定轨迹类型 再写出其方程 这种求轨迹方程的方法叫作定义法 其关键是理解解析几何中有关曲线的定义 提醒 利用定义法求轨迹方程时 还要看所求轨迹是否是完整的圆 椭圆 双曲线 抛物线 如果不是完整的曲线 则应对其中的变量x或y进行限制 例2 1 已知圆c x2 y2 6x 91 0及圆内一点p 3 0 则过点p且与圆c内切的动圆圆心m的轨迹方程为 2 2012 九江模拟 已知动圆p与圆c1 x 5 2 y2 9和圆c2 x 5 2 y2 1都外切 则动圆圆心p的轨迹方程为 解题指南 1 由两圆内切可得出两圆圆心距与两圆半径差之间的关系 cm 10 r r为动圆m的半径 再注意 pm r 从而有 cm pm 10 由椭圆的定义得出所求轨迹为椭圆 2 由动圆p与圆c1 圆c2均外切得出 c1p r 3 c2p r 1 由此得到 c1p c2p 2 由双曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程 规范解答 1 因为圆c x2 y2 6x 91 0的方程可化为 x 3 2 y2 100 所以圆心坐标为c 3 0 半径为10 设动圆圆心m的坐标为m x y 半径为r 因为圆c与动圆m内切 所以 cm 10 r 又因为动圆过点p 所以 pm r 因此 cm pm 10 6 cp 所以动圆圆心m的轨迹为椭圆 其中长轴长为10 焦距等于6 所以椭圆方程为 即所求轨迹方程 答案 2 设动圆圆心p的坐标为p x y 半径为r 因为动圆p与圆c1外切 所以 c1p r 3 又动圆p与圆c2外切 所以 c2p r 1 因此 c1p c2p 2 由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一支 右支 由圆c1 x 5 2 y2 9和圆c2 x 5 2 y2 1可知 c1 5 0 c2 5 0 所以双曲线的实轴长为2 焦距为10 所以所求轨迹方程为答案 互动探究 在本例 2 中 若动圆p与圆c2内切 与圆c1外切 则动圆圆心p的轨迹是什么 若动圆p与圆c1内切 与圆c2外切 则动圆圆心p的轨迹是什么 若把圆c1的半径改为1 则动圆圆心p的轨迹是什么 解析 因为动圆p与圆c1外切 所以 c1p r 3 又动圆p与圆c2内切 所以 c2p r 1 因此 c1p c2p 4 由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的右支 因为动圆p与圆c2外切 所以 c2p r 1 又动圆p与圆c1内切 所以 c1p r 3 因此 c1p c2p 4 由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的左支 因为动圆p与圆c1外切 所以 c1p r 1 又动圆p与圆c2外切 所以 c2p r 1 因此 c1p c2p 所以点p在c1c2的垂直平分线上 即所求轨迹为两定圆圆心连线的垂直平分线 反思 感悟 1 本例两个题目都是求轨迹方程 它们的共同特点是利用题设条件 找到符合某种曲线的定义 即得出点的轨迹 进而求出轨迹方程 2 利用定义求轨迹或轨迹方程时 一定要注意曲线定义的内涵及外延 有一点不符合定义就有可能得出另外的结论 变式备选 已知a 0 b是圆f x 2 y2 4 f为圆心 上一动点 线段ab的垂直平分线交bf于点p 求动点p的轨迹方程 解析 如图 连接pa 依题意可知 pa pb pa pf pb pf bf 2 p点轨迹为以a 0 f 0 为焦点 长半轴长为1的椭圆 其方程可设为又 c a 1 b2 a2 c2 故p点的轨迹方程为 相关点 代入 法求轨迹方程 方法点睛 相关点 代入 法动点所满足的条件不易得出或转化为等式 但形成轨迹的动点p x y 却随另一动点q x y 的运动而有规律地运动 而且动点q的轨迹方程为给定的或容易求得的 则可先将x y 表示成x y的式子 再代入q的轨迹方程 整理化简即得动点p的轨迹方程 提醒 用代入法求轨迹方程是将x y 表示成x y的式子 同时注意x y 的限制条件 例3 设f 1 0 点m在x轴上 点p在y轴上 且当点p在y轴上运动时 求点n的轨迹方程 解题指南 设点n m p的坐标分别为n x y m x 0 p 0 y 可由已知条件得出x y 与x y之间的关系 同时得到x y 满足的方程 用代入法即可求出轨迹方程 规范解答 设m x 0 p 0 y n x y 由得 x x y 2 x y 所以解得又因为 x y 1 y 所以 x y 1 y 0 即x y 2 0 所以 x 2 0 即y2 4x 因此所求的轨迹方程为y2 4x 反思 感悟 1 解答本题的关键是从已知条件中发现x y 之间的关系式及x y 与x y之间的关系 2 用代入法求轨迹方程 关键是发现相关点的轨迹方程 同时要注意验证应该删除的点或遗漏的点 以防增解或漏解 变式训练 设线段ab的两个端点a b分别在x轴 y轴上滑动 且 ab 5 则点m的轨迹方程为 a b c d 解析 选a 设m x y a x0 0 b 0 y0 由则解得由 ab 5 得 x 2 y 2 25 化简得 故选a 满分指导 求轨迹方程主观题的规范解答 典例 12分 2011 广东高考 在平面直角坐标系xoy中 直线l x 2交x轴于点a 设p是l上一点 m是线段op的垂直平分线上一点 且满足 mpo aop 1 当点p在l上运动时 求点m的轨迹e的方程 2 已知t 1 1 设h是e上的动点 求 ho ht 的最小值 并给出此时点h的坐标 3 过点t 1 1 且不平行于y轴的直线l1与轨迹e有且只有两个不同的交点 求直线l1的斜率k的取值范围 解题指南 1 由已知可得 动点m到直线l与到原点o的距离相等 或点m在x轴负半轴上 从而可求出轨迹方程 2 利用抛物线的定义 其上的点到准线的距离等于到焦点的距离 可得答案 3 由分类讨论可得结论 规范解答 1 如图所示 连接om 则 pm om mpo aop 动点m满足mp l 或m在x轴的负半轴上 设m x y 当mp l时 mp x 2 om x 2 化简得y2 4x 4 x 1 2分 l x 2 当m在x轴的负半轴上时 y 0 x 1 综上所述 点m的轨迹e的方程为y2 4x 4 x 1 或y 0 x 1 4分 2 由 1 知m的轨迹是顶点为 1 0 焦点为原点的抛物线和y 0 x 1 若h是抛物线上的动点 过h作hn l于n 由于l是抛物线的准线 根据抛物线的定义有 ho hn 则 ho ht hn ht 当n h t三点共线时 hn ht 有最小值 tn 3 求得此时h的坐标为 1 6分 若h是y 0 x 1 上的动点 显然有 ho ht 3 综上所述 ho ht 的最小值为3 此时点h的坐标为 1 8分 3 如图 设抛物线顶点b 1 0 则直线bt的斜率kbt 点t 1 1 在抛物线内部 过点t且不平行于x y轴的直线l1必与抛物线有两个交点 则直线l1与轨迹e的交点个数分以下四种情况讨论 当k 时 直线l1与轨迹e有且只有两个不同的交点 当 k 0时 直线l1与轨迹e有且只有三个不同的交点 10分 当k 0时 直线l1与轨迹e有且只有一个交点 当k 0时 直线l1与轨迹e有且只有两个不同的交点 综上所述 直线l1的斜率k的取值范围是 0 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 成都模拟 已知两定点a 2 0 b 1 0 如果动点p满足条件 pa 2 pb 则点p的轨迹所包围的图形的面积等于 a b 4 c 8 d 9 解析 选b 已知两定点a 2 0 b 1 0 如果动点p满足 pa 2 pb 设点