高中数学 8.5椭 圆配套课件 北师大版.ppt

第五节椭圆 三年26考高考指数 1 掌握椭圆的定义 几何图形 标准方程及简单几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 2 了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用 3 理解数形结合的思想 1 椭圆的定义 标准方程 几何性质是高考的重点 而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点 2 直线与椭圆的位置关系 往往与向量 函数 不等式等知识交汇命题 3 选择 填空题常考查椭圆的定义 标准方程 几何性质 解答题经常以两问的形式出现 第一问考查椭圆的定义 标准方程以及几何性质 第二问则考查直线与椭圆的位置关系及学生分析问题 解决问题的能力 1 椭圆的定义 1 满足条件 在平面内 与两个定点f1 f2的距离之 等于常数 常数大于 2 焦点 两定点 3 焦距 两 间的距离 和 f1f2 焦点 即时应用 判断下列点的轨迹是否为椭圆 请在括号内填 是 或 否 1 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于2的点的轨迹 2 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于4的点的轨迹 3 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于6的点的轨迹 解析 由椭圆的定义可知 1 距离之和小于 ab 所以点的轨迹不存在 2 距离之和等于 ab 点的轨迹是以a b为端点的一条线段 3 符合椭圆定义 点的轨迹是以a b为焦点 长轴长为6的椭圆 答案 1 否 2 否 3 是 2 根据图形写出相对应的椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 对称轴 坐标轴对称中心 原点 长轴a1a2的长为2a短轴b1b2的长为2b 图形 性质 范围 对称性 顶点 轴 图形 性质 焦距 离心率 a b c的关系 即时应用 1 思考 椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系 提示 因为离心率所以 离心率越接近于1 b就越接近于0 即短轴的长接近于0 椭圆就越扁 离心率越接近于0 a b就越接近 即椭圆的长 短轴长越接近相等 椭圆就越接近于圆 但永远不会为圆 2 已知椭圆的焦点在y轴上 若椭圆的离心率为则m的值为 解析 的焦点在y轴上 所以a2 m b2 2 离心率为又离心率为所以解得m 答案 3 已知椭圆的短轴长为6 离心率为 则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为 解析 因为椭圆的短轴长为6 所以b 3 又因为离心率为 所以 又因为a2 b2 c2 解 组成的方程组得 a 5 c 4 所以 焦点到长轴端点的距离为 a c 9或a c 1 答案 9或1 椭圆的定义 标准方程 方法点睛 1 椭圆定义的应用利用椭圆的定义解题时 一方面要注意常数2a f1f2 这一条件 另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的 焦点三角形 中的数量关系 2 椭圆焦点不确定时的标准方程的设法当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时 其标准方程可设为 m 0 n 0 m n 这样可避免讨论和复杂的计算 也可设为ax2 by2 1 a 0 b 0 a b 这种形式 在解题时更简便 例1 1 2012 合肥模拟 p为椭圆上一点 f1 f2为该椭圆的两个焦点 若 f1pf2 60 则 2 已知f1 f2为椭圆的两个焦点 过f1的直线交椭圆于a b两点 若 f2a f2b 12 则 ab 3 已知点p在以坐标轴为对称轴的椭圆上 且p到两焦点的距离分别为5 3 过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 求椭圆的方程 解题指南 1 已知向量的夹角为60 选择公式计算从而把问题转化为求的值 然后利用椭圆的定义及余弦定理可解 2 注意 af1 af2 10 bf1 bf2 10 且 af1 f1b ab 再结合题设即可得出结论 3 可先设椭圆的方程为或 a b 0 再根据题设条件求出相应的参数值即可 规范解答 1 选d 由题意得在 pf1f2中 由余弦定理得 2 由椭圆的定义及椭圆的标准方程得 af1 af2 10 bf1 bf2 10 又已知 f2a f2b 12 所以 ab af1 bf1 8 答案 8 3 设椭圆方程为因为p到两焦点的距离分别为5 3 所以2a 5 3 8 即a 4 又因为过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 所以 2c 2 52 32 16 所以c2 4 因此b2 a2 c2 12 所以椭圆方程为 互动探究 本例 3 将条件 过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 改为 点p和两焦点构成的三角形为直角三角形 结果如何 解析 当其中一个焦点为直角顶点时 与例题条件相同 所以 椭圆方程为 当直角顶点为点p时 则有 2c 2 52 32 34 所以c2 又因为a 4 所以b2 a2 c2 所以椭圆方程为 综上可知 所求椭圆方程为 或 反思 感悟 1 在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时 经常联想到椭圆的定义 即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解 涉及到椭圆上的点与焦点构成的三角形时 还常用余弦定理求解 2 在求椭圆方程时 若已知椭圆上的点到两焦点的距离 可先求出椭圆长轴长 再想法求短轴长 从而得出方程 若已知点的坐标 可先设出椭圆的标准方程 再利用待定系数法求解 当椭圆的焦点不确定时 应考虑焦点在x轴 在y轴两种情形 无论哪种情形 始终有a b 0 变式备选 已知f1 f2是椭圆c a b 0 的两个焦点 p为椭圆c上的一点 且若 pf1f2的面积为9 则b 解析 设 pf1 r1 pf2 r2 则 2r1r2 r1 r2 2 r21 r22 4a2 4c2 4b2 b 3 答案 3 椭圆的几何性质及应用 方法点睛 1 椭圆几何性质中的不等关系对于椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等 在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最大值 最小值时 经常用到这些不等关系 2 利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及到顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 3 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式 或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 提醒 椭圆离心率的范围 0 e 1 例2 2012 淮南模拟 设椭圆 a b 0 的两个焦点分别为f1 f2 点p在椭圆上 且 tan pf1f2 2 则该椭圆的离心率等于 解题指南 由得 f1pf2为直角三角形 再由tan pf1f2 2得出两直角边的比为2 而斜边长为2c 由勾股定理及椭圆的定义即可求出离心率 规范解答 因为 所以pf1 pf2 得 f1pf2为直角三角形 又因为tan pf1f2 2 所以可设 pf1 m 则 pf2 2m 2a 3m 2c m 所以离心率答案 反思 感悟 1 求椭圆的离心率的值的问题 关键是依据题设条件寻找关于a b c的一个等式 或解方程求出离心率 或直接求出离心率 2 在解方程求椭圆离心率的值时 要注意椭圆离心率自身的范围 有增根要舍去 变式训练 定义 离心率的椭圆为 黄金椭圆 已知e a b 0 的一个焦点为f c 0 c 0 则e为 黄金椭圆 是 a b c成等比数列 的 a 既不充分也不必要条件 b 充分且必要条件 c 充分不必要条件 d 必要不充分条件 解析 选b 若e为黄金椭圆 则 所以a b c成等比数列 若a b c成等比数列 则b2 ac a2 c2 ac e2 e 1 0 又0 e 1 所以 故e为黄金椭圆 变式备选 如图 在平面直角坐标系xoy中 点a为椭圆e a b 0 的左顶点 b c在椭圆e上 若四边形oabc为平行四边形 且 oab 30 则椭圆e的离心率等于 解析 依题设知 点c的坐标为 又因为点c在椭圆e上 所以有解得a2 9b2 因此 a2 9 a2 c2 即所以椭圆e的离心率等于答案 直线与椭圆的位置关系 方法点睛 1 直线与椭圆位置关系判断的步骤首先 联立直线方程与椭圆方程 其次 消元得出关于x 或y 的一元二次方程 得出结论 当 0时 直线与椭圆相交 当 0时 直线与椭圆相切 当 0时 直线与椭圆相离 2 直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为a x1 y1 b x2 y2 则 k为直线斜率 3 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法 弦长 根与系数的关系 弦长公式 中点弦或弦的中点 点差法 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 例3 2011 北京高考 已知椭圆过点 m 0 作圆x2 y2 1的切线l交椭圆g于a b两点 1 求椭圆g的焦点坐标和离心率 2 将 ab 表示为m的函数 并求 ab 的最大值 解题指南 1 根据标准方程可求出焦点坐标和离心率 2 先讨论切线l斜率不存在时的两种情况 当斜率存在时 联立切线方程与椭圆方程 利用根与系数的关系及弦长公式可表示出 ab 再求 ab 的最大值 规范解答 1 由已知得a 2 b 1 所以所以椭圆g的焦点坐标为离心率为 2 由题意知 m 1 当m 1时 切线l的方程为x 1 点a b的坐标分别为此时当m 1时 同理可得当 m 1时 设切线l的方程为y k x m 得 1 4k2 x2 8k2mx 4k2m2 4 0 设a b两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 又由l与圆x2 y2 1相切 得所以 由于当m 1时 ab 当且仅当所以 ab 的最大值为2 反思 感悟 1 通过本题的解答可知 已知椭圆的标准方程 可直接求出椭圆的焦点坐标 离心率 也可求出其顶点坐标 长轴长 短轴长等 求直线被椭圆截得的弦长的最值 关键是求出弦长的解析式 然后利用函数的性质或基本不等式求最值 2 在求切线方程时 要注意讨论直线的斜率存在与不存在两种情况 变式训练 若f1 f2分别是椭圆的左 右焦点 p是该椭圆上的一个动点 且 1 求出这个椭圆的方程 2 是否存在过定点n 0 2 的直线l与椭圆交于不同的两点a b 使 其中o为坐标原点 若存在 求出直线l的斜率k 若不存在 说明理由 解析 1 依题意 得2a 4 所以 椭圆的方程为 2 显然当直线l的斜率不存在 即x 0时 不满足条件 设l的方程为y kx 2 由a b是直线l与椭圆的两个不同的交点 设a x1 y1 b x2 y2 消去y并整理 得 1 4k2 x2 16kx 12 0 16k 2 4 1 4k2 12 0 得 由 可知k 2 所以 存在斜率k 2的直线l符合题意 满分指导 直线与椭圆综合问题的规范解答 典例 12分 2011 江苏高考 如图 在平面直角坐标系xoy中 m n分别是椭圆的顶点 过坐标原点的直线交椭圆于p a两点 其中p在第一象限 过p作x轴的垂线 垂足为c 连接ac 并延长交椭圆于点b 设直线pa的斜率为k 1 当直线pa平分线段mn时 求k的值 2 当k 2时 求点p到直线ab的距离d 3 对任意k 0 求证 pa pb 解题指南 1 利用mn的中点在pa上即可求解 2 先求点p的坐标 再求出ab的方程 就能求出距离d 3 证明斜率之积为 1即可 规范解答 1 由题意知 a 2 b 故m 2 0 n 0 所以线段mn的中点的坐标为 由于直线pa平分线段mn 故直线pa过线段mn的中点 又直线pa过坐标原点 所以 3分 2 直线pa的方程为y 2x 代入椭圆方程得解得x 因此p a 于是c 0 直线ac的斜率为 所以直线ab的方程为 5分因此 7分 3 方法一 将直线pa的方程y kx代入 解得x 记 8分则p k a k 于是c 0 故直线ab的斜率为 直线ab的方程为y x 代入椭圆方程得 2 k2 x2 2 k2x 2 3k2 2 0 解得或x 10分 因此于是直线pb的斜率为因此k1k 1 所以pa pb 12分方法二 设p x1 y1 b x2 y2 则x1 0 x2 0 x1 x2 a x1 y1 c x1 0 8分设直线pb ab的斜率分别为k1 k2 因为c在直线ab上 所以 从而 10分因此k1k 1 所以pa pb 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 新课标全国卷 椭圆的离心率为 a b c d 解析 选d 直接求故选d 2 2012 榆林模拟 已知椭圆c a b 0 的离心率为 短轴长为2 过右焦点f且斜率为k k 0 的直线与椭圆c相交于a b两点 若则k a 1 b c d 2 解析 选b 方法一 横坐标法由题意得b 1 a 2 c f 0 c 直线方程为y k x 令a x1 y1 b x2 y2 由得 1 4k2 x2 8k2x 12k2 4 0 x1 3 x2 即x1 4 3x2代入 得代入 得即k2 2 k 0 k 方法二 以上同方法一 纵坐标法由得 y1 3y2 代入 得代入 得解得 k2 2 k 0 k 3 2011 新课标全国卷 在平面直角坐标