南通中学数学高考复习100练1-50参考答案.doc

1 2011 南通高中数学南通高中数学基础小题冲刺训练参考答案 1 集合的概念 集合间的基本关系 1 确定性 互异性 无序性 2 列举法 描述法 韦恩图 3 4 4 5 6 3 个 7 15 8 6 个 11 6 3 2 0 1 4 9 9 提示 x 1 时 a 1 x 2 时 1 0 1 2 a ABB AB 2 320Bx xx 1 2 a 而 a 0 时 A 满足 10 提示 1 2 ABB 1a a0 和 2x2 x 1 0 的解集为 R M N 不成立 若 111 222 abc abc x2 2x 1 0 和 x2 2x 1 0 此时 MN 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 11 8 个 12 提示 ab 0 时成立 baba 若 则或 的逆否命题是 若且则 0 xy0 x0 y0 x0 y0 xy 正确命题的序号是 13 证明 若 p q 2 则 p2 q2 p q 2 p q 2 p q 2 2 1 2 1 2 1 所以 p2 q2 2 这表明 原命题的逆否命题为真命题 从而原命题为真命题 4 逻辑联接词 1 2 使用了逻辑联结词 或 3 r 4 0 2 x tansinxx 3 5 6 真命题 7 均有 x 2 2 220 xR xx xR sin1x Rx x 1 0 8 提示 1 p 且 q 2 p 或 q 3 非 p 4 p 或 q 9 提示 1 菱形的对角线互相垂直或 互相平分 10 提示 11 a 8 12 提示 1 1 p 或 q 2 是偶数或质数 真命题 p 且 q 2 是偶数且是质数 真命 题 非 p 2 不是偶数 假命题 2 p 或 q 0 的倒数还是 0 或 0 的相反数还是 0 真命题 p 且 q 0 的倒数还是 0 且 0 的相反数还是 0 假命题 非 p 0 的倒数不是 0 真命题 13 解 3 1 ppAAB 非 形式的复合命题 此复合命题为假 2 非 P 形式的复合命题 p 方程 x2 2x 3 0 有实数根 此复合命题为真 3 p 或 q 形式的复合命题 p 3 3 为假 q 3 3 为真 此复合命题为真 5 综合运用 1 12 2 12 3 4 54 5 6 2 9 2 333 3 4 xx 7 16 提示 等价于 8 4 5 0 xx 9 0 8 a aa 或 9 8 a a 当中仅有一个元素时 或 当中有个元素时 A0a 980a A0980a 当中有两个元素时 A980a 9 提示 不等式 2 5 6xx 0 2 3x 24x 2 5 6xx 0 的解集为 10 a 2 提示 a 1 时 解集为 1 a 因为 a 2 a2PQP P QP 11 q 12 依题意可知 必须是没有与相邻的元素 因而无 孤立元 是指在集合中有与相邻 1 2 kk 的元素 故所求的集合可分为如下两类 因此 符合题意的集合是 共 6 个 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 6 7 8 13 解 若真 则 解得 p 2 2 0 140 a a 1 2 a 若真 则 解得或者 q 2 40a 2a 2a 因为命题 或 为真命题 命题 且 为假命题 pqpq 所以命题和有且仅有一个为真 所以实数范围为 或 pqa2a 1 2 2 a 6 函数及其表示方法 1 3 2 2 1 3 4 4 3 5 1 6 0 4 7 8 提示 9 4 2 34 32 7223 72 32fpq 10 11 12 1 2 abcabc 19 20 20 x yxN 1 13 显然当 P 在 AB 上时 PA 当 P 在 BC 上时 PA 当 P 在 CD 上时 PA x 2 1 1 x 当 P 在 DA 上时 PA 再写成分段函数的形式 2 3 1x x 4 7 函数的解析式和定义域 1 2 3 4 2 2 5 4 6 x 1 x 8 1 0 x x 4 0 0 1 2 3 7 提示 由函数解析式有意义 3 2 1 1 0 得 0 x 1 或 1 x 2 或 x 3 0 01 065 2 xx x xx x 3 或x 2 x 1 x 0 故函数的定义域是 8 1 3 2 1 1 0 9 提示 设f x ax b a 0 则f f x af x b a ax b b a2x ab b 或 f x 2x 1 或f x 2x 3 1 2 3 4 2 b a bab a 3 2 b a 10 提示 在f x 2f x 中 用代换x得 f 2 f x 联立 解得 x 1 x 1 x 1 x 1 11 f x 3x 0 3 2 2 x x x xf 12 提示 因函数 y lg x2 ax 1 的定义域为 R 故 x2 ax 1 0 对 x R 恒成立 而 f x x2 ax 1 2 2 是开口向上的抛物线 从而 0 即 a2 4 0 解得 2 a 2 13 f x 4x 3 f x x 1 2 x 2 1 3 x 4 3 8 函数的值域与最值 1 2 2 3 4 6 5 3 2 3 2 3 1 2 3 6 利用 0 a 2 或 a 2 7 8 2 15 10 3 9 提示 2 2 22 x 3 4 14sin x 34cos 0 2 x 1 x 令 5 于是 132sin2cos2 2sin 4 yxx 2 2 2 2 2 m mM M 10 8 1 11 9 个 提示 解析式为 定义域为 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 yx 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 值域为 4 1 12 1 2 2 1 1 1 xxx y xxx 3 2 y yR 函数的值域为且y1 y 13 解 对称轴31 xa 当 即时 是的递增区间 310a 1 3 a 0 1 f x 2 min 0 3f xfa 当 即时 是的递减区间 311a 2 3 a 0 1 f x 2 min 1 363f xfaa 当 即时 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 031 1a 12 33 a 2 min 31 661f xfaaa 9 函数的单调性与奇偶性 1 2 3 和 2b 1 xy 0 2 1 2 1 4 提示 函数 故函数的单调递 1 2 12 1 2 1 1 222 xxxxxf 2 2 x 减区间为 5 6 1 2 提示 12 211 2 x xx fxaa fxf x 1 2 21121 21 1 2211 21 22 xx xxxx aaaa 故 7 0 3 8 a 1 2 9 1 3 x 2 3 提示 由于 f x 是偶函数 故 f x f x 得 f 2x 1 f 1 3 再根据 f x 的单调性 得 2x 1 1 3 解得 1 3 x 2 3 10 提示 定义域关于原点对称 且 奇函数 定义 0 0 xfxf 域为不关于原点对称 该函数不具有奇偶性 定义域为 R 关于原点对称 且 2 1 故其不具有奇偶性 定义域为 R 关于 xxxxxf 44 44 xxxxxf 原点对称 当时 当时 0 x 2 2 22 xfxxxf 0 x 当时 故该函数为奇函数 故填 2 2 22 xfxxxf 0 x0 0 f 6 11 26 提示 已知中为奇函数 即 中 xf x b axx 32005 xg x b axx 32005 xgxg 也即 得 2 2 gg 108 2 8 2 2 ggf18 2 g268 2 2 gf 12 8 提示 因为定义在 R 上的奇函数 满足 4 f xf x 所以 4 f xfx 所 以 由 xf为奇函数 所以函数图象关于直线2x 对称且 0 0f 由 4 f xf x 知 8 f xf x 所以函数是以 8 为周期的周期函数 又因为 xf在区间 0 2 上是增函数 所以 xf在 区间 2 0 上也是增函数 如图所示 那么方程 f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根 1234 x x x x 不 妨设 1234 xxxx 由对称性知 12 12xx 34 4xx 所以 1234 1248xxxx 221 1 1 24222 xxxxfxffxg xfxgxG 224 22xxx 2 2 24 xx 21 xGxG 2 2 2 1 4 1 xx 2 2 2 2 4 2 xx 22 121212 2 xxxxxx 由题设当时 1 21 xx 0 2121 xxxx 4211 2 2 2 2 1 xx 则 当时 4 04 01 21 xx 0 2121 xxxx 4211 2 2 2 2 1 xx 则 故 4 04 4 10 函数的图象 1 2 3 4 5 0 提示 是偶函数 图象与 x 轴有 1 21 x y xf 4 个交点关于一 y 轴对称 其横坐标互为相反数 故的所有实根的和是 0 6 2 2 提示 0 xf f x ax过定点 0 1 故 f x ax 2 3 过定点 2 2 7 1 2 提示 由于函数 f x 是 R 上的增函数 且过点 A 0 1 B 3 1 f x 1 1 的解集为 1 2 故其补集为 1 2 8 提示 不过点 0 1 当 0 7 0 x 时函数为减函数 故选 A 11 c 提示 32 yxaxab 由 0y 得 2 3 ab xa x 当xa 时 y取极大值 0 当 2 3 ab x 时y取极小值且极小值为负 故选 C 或当xb 时0y 当xb 时 0y 选 C 12 提示 采用特殊值法 根据题意 可设 又设 易验证 xxgxxf 1 2 ba 与 成立 13 1 73 4 7 10 3 0 2 2 x x xx y 2 图形如右 11 二次函数 1 1 2 3 4 0 5 6 提示 1 1 0 132 2 xxxf 由题知 xf在R上是增函数 由题得aa 2 2 解得12 a 7 8 3 提 3 3 2 示 换元为 对称轴为 当 1 12 2 aaay xx 1 12 2 at a tty 1 t 即 x 1 时取最大值 解得 a 3 a 5 舍去 9 提示 令 u x2 2x x 1 2 1 1 aat 13 4 6 x 0 当 x 1 时 umin 1 当 x 0 时 umax 0 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 10 2 2 2 2 5 3 1 1 0 1 1 0 b a b a b a ab ab a b a ab ab a或综上得解得时当解得时当 13 4 6 abab 得 10 1125 提示 设日销售金额为 y 元 则 y p Q 2 2 20800 1404000 tt y tt 025 2530 ttN ttN 2 2 10 900 70 900 t t 025 2530 ttN ttN 当 t 10 时 元 当 t 25 时 Ntt 250900 max yNtt 3025 8 元 由 1125 900 知 ymax 1125 元 11 12 m m 1 1125 max y 1 0 4 a 提示 由 AB知方程组得 x2 m 1 x 0 在 0 x 20 01 20 2 yx yx ymxx 消去内有解在 内有解 即 m3 或 m 1 若 m3 则 x1 x2 1 m0 x1x2 1 所以方程有两正根 且两根均为 1 或两根一个大于 1 一个小于 1 即 至少有一根在 0 2 内 因此 m m 1 13 1 过A B C 分别作AA1 BB1 CC1垂直于x轴 垂足为A1 B1 C1 则S S梯形AA1B1B S梯形BB1C1C S 梯形AA1C1C 2 因为v 在上是增函数 且v5 4 4 1 log 2 4 log 2 3 2 2 3 1 ttt tt tt4 2 1 上是减函数 且1x z 提示 用单调性 3 1 解 设 显然 则346 xyz k 0 1kk 由 2x py 得 346 log log log xk yk zk 3 2log 4p 2 解 而 9 16 27 故 2 p 3 3 2log 4p 333 log 9log 16log 27 9 故与 333333 1627 1627 2log 16log 9log 3log 27log 16log 23 916 916 pppp p 的差最小的整数是 3 3 证明 63 111111111 log 6log 3log 2log 4 loglog222 kkkk zxkkyzxy 13 指数函数与对数函数 x x 2 或 x 3 0 1 一 4 2 2 3 1 32 1 1 4 1 提示 函数1 x yaaa 0 且 的反函数是 logaf xx 又 2 1f 即 log 21 a 所以 2a 故 2 logf xx C 提示 f x 过点 1 1 g x 过点 0 2 1 1 10 提示 0 1 2 222 2102044010 xax a xaxaaaa 恒成立 恒成立 12 1 提示 由已知得 2 1 log 21f 0 0f 1 0 1 1fff 5 2 2 1 0 1fff 3 2 1 1 1 0fff 4 3 2 0 1 1fff 5 4 3 1fff 6 5 4 0fff 所以函数 f x 的值以 6 为周期重复性出现 所以 f 2009 f 5 1 13 解 由得 即 2256 x 8x 2 log3x 2 1 log3 2 x 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当 2 222 31 log1 log2 log 24 f xxxx 2 3 log 2 x min 1 4 f x 当 2 log3 x max 2f x 14 幂函数 1 1 3 2 3 4 5 lnf xx 提示 由 1 y x 可得定 6 2010 1 0 3 2 f xx 义域是0 lnxf xx 的定义域0 x 1 f x x 的定义域是x 0 f xx 的定义域是 x xR f xe 定义域是xR 6 2 提示 得 7 8 4 9 2 2 11 230 mm mm 2m 222 333 2 3 2 3 1423 10 10 11 提示 按底 1 4 3 2 数的正负分三类讨论 10 12 提示 结合图形分类 1 f x 的 0 4 m0 时 m 4 或 m4 时 f 0 0 g 0 0 不合题意 当 m0 且 a 1 有两个零点 就是函数 0 x yaa 且1 a 与函数yxa 有两个交点 由图象可知当10 a时两函数只有一个交点 不符合 当1 a时 因为函数 1 x yaa 的图象过点 0 1 而直线yxa 所过的点一定在点 0 1 的上方 所以一定有两个交点 所以实数 a 的取值范围是 1 a 11 5 提示 由得 所以 则 1 5 1 2f x f x 1 4 2 f xf x f x 5 1 5ff 6 4 7 mabn 11 5 5 1 12 5 ffff f 8 提示 令 2 2 5 33 25 2 10 2 5 2 5100f xxxff 9 2 提示 分别作出的图象 10 1 提示 是上凸函数 ln 2f xx g xx xy 2 log 11 1 0 3 提示 利用函数图像 12 2a a 提示 易得 在上单调递减 3 a y x 2 aa 所以 故 2 2 2 y a a 2 1 2 2 a a a a 13 解 1 方法一 分离参数a 2 12 2 3 x ax x 变成求函数的最小值 1 4 a 方法二 利用二次函数的知识解不等式 2 2 1 0f xx axx 2 10axx 的根不在 21 33aa 之间即可 令当 21 0 0 0 33 agg aa 1211 2323 x aaaa 2 1g xaxx 2 1g xaxx 的零点不在 21 33aa 之间 16 函数模型及应用 1 2 3 857 4 6 15840 提示 设这列火车每天来回次数为t次 每17280 13 54 8 1 yx 次拖挂车厢n节 则设bknt 由 bk bk 710 416 解得 24 2 b k 242 nt 设每次拖挂n节车厢每天营运人数为y人 则 2640220 22110 2 nntny 当6 440 2640 n时 总人数最多为 15840 人 5 16 6 4559 元 7 8 70 提示 设最佳售价为元 最大利润为元 50 x y 当时 取得最大值 应定价为元 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 50 50 50 40yxxx 2 40500 xx 20 x y70 12 9 3 2 104 提示 11342 2380 2044 49 2 10 提示 1 802 20 10 40 40 10 2 yg tf ttttt 30 40 010 40 50 1020 ttt ttt 当 0 t 10 时 y 的取值范围是 1200 1225 在 t 5 时 y 取得最大值为 1225 当 10 t 20 时 y 的取值范围是 600 1200 在 t 20 时 y 取得最小值为 600 答 总之 第 5 天 日销售额 y 取得最大为 1225 元 第 20 天 日销售额 y 取得最小为 600 元 11 解析 1 多订购的零件 x 100 个 每个零件降低价格 0 02 x 100 列方程得 解得 0 021006051x 550 x 2 由 1 得当时 当时 P 51550 x 600 02100Px 550 x 60 600 02100 51 f xx 0100 100550 550 x x x 3 当 x 500 时 总利润 12 分 当 600 02500 10052P 50052406000 x 1000 时 P 51 总利润 100051 4011000 12 证明 1 当7x 时 0 4 1 3 4 f xf x xx 而当7x 时 函数 3 4 yxx 单调递增 且 3 4 0 xx 故函数 1 f xf x 单调递减 当7x 时 掌握程度的增长量 1 f xf x 总是下降 w w w k s 5 u c o m 2 有题意可知0 1 15ln0 85 6 a a 整理得 0 05 6 a e a 解得 0 05 0 05 620 50 6123 0 123 0 121 127 1 e a e 由此可知 该学科是乙学科 17 函数综合训练 1 2 3 4 A 提示 函数有意义 需使0 xx ee 其定 01 xx 1 2 107ff 13 义域为 0 xx 排除 C D 又因为 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee 所以当0 x 时函数为减函 数 故选 A 5 6 7 提示 f x 关于 x 对称 故有一根为 另两根的和为 1 故三个根 1 2 3 32 1 3 22 1 2 1 的和为 2 3 8 提示 由图形可知 9 2 10 4 提示 3 3 2 5 1 4 4 2 1112 1 5 1 54 2 55 f xf x T f x ff 1 f 2003 5 f 500 4 3 5 f 3 5 f 1 5 11 提示 f x 2 f x 1 f x T 2 结合图形可知 12 3 2 log23 4 所以 1 24 f 2 log23 f 3 log23 且 3 log23 4 2 2log 3 f f 3 log23 1 222 1 log 3 3 log 3log 3 11111111 282828324 13 解 1 对任意实数 x x 与 x 同为有理数或无理数 所以恒有 f x f x 又定义域关于原点对 称 函数为偶函数 2 当 T 时 对任意实数 x x 与 x 同为有理数或无理数 所以恒有 f x f x 所以 T 1 2 1 2 1 2 是函数的周期 当 T 为有理数时 对任意实数 x 以及有理数 T x 与 x T 同为有理数或无理数 所以 1 2 恒有 f x f x T 所以 T 是函数的周期 当 T 为无理数时 f T 0 f T T f 0 1 所以 T 不是函数的周期 函数的所有周期组成有理数集合 18 数列的概念 1 17 2 3 3 45 4 5 6 7 提示 由 1 2n 3 n 78 aa或9 得 8 1 0 提示 依题意 2 1 1 1 1 nnnn aaaa 2345 0 1 0 1 aaaa 得 20094 503 3 1aa 20142 100710074 252 1 0aaaa 应填 1 0 1 1 2 n n 提示 可归纳 猜想得 9 3 10 63 提示 1 1 nn aan n a 所以 即 1222 2 312 log log5 3 422 nn n Saaa nn 5 2 2 2n 62n 14 11 4 提示 3618918141211 244 4 2 4 4 4 8 aaaaaaaaaaa 1 364a 12 4016 提示 由得 所以 f abf af b 1 1 f nf nf 1 1 2 f n f f n 13 解 1 22 10 1010 99 19appp 22 10 3 102 10 3 92 9 55b 即 1010 ab 1955p 36p 2 当时 所以数列的通项公式为 1 1b 2n 22 32 3 1 2 1 65 n bnnnnn n b 数列的奇数项所组成的数列的通项公式为 所以65 n bn n b 21 6 21 51211 k bkk 数列的通项公式为 n c1211 n cn 19 等差数列 1 2 1 提示 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差43 n an 43 2daa 204 204 1aad 3 49 提示 1726 7 7 7 7 3 11 49 222 aaaa S 或由 211 61 31 5112 aada aadd 7 1 6 213 a 所以 17 7 7 7 1 13 49 22 aa S 4 105 5 10 6 8 7 15 提示 由得 又 17 74 7 77 2 aa Sa 4 1a 所以 8 1 提示 9 3 提示 由 79412 16aaaa 12 15a 19 95 15 53 9 9 2 1 5 5 2 aa Sa aa Sa 得 5SSd 偶奇 3d 10 提示 由得 所以 前项和的最小值为75 38 SS 458 0aaa 6 0a n 16 56 6 75 2 aa SS 11 153 提示 由数列通项公式得 是等差数列 且前3 项小于0 从第4 项起都大于0 n a 123151234515 53 1 1 35aaaaaaaaaa 23 153 12 20 提示 由 1 a 3 a 5 a 105 得 3 3105 a 即 3 35a 由 246 aaa 99 得 4 399a 即 15 4 33a 2d 4 4 2 41 2 n aann 由 1 0 0 n n a a 得20n 13 解 1 设公差为d 则 2222 2543 aaaa 由性质得 4343 3 d aad aa 因为 0d 所以 43 0aa 即 1 250ad 又由 7 7S 得 1 76 77 2 ad 解得 1 5a 2d 2 方法一 1 2 mm m a a a 2 7 25 23 mm m 设23mt 则 1 2 mm m a a a 4 2 8 6 tt t tt 所以t为 8 的约数 方法二 因为 122 2 222 4 2 8 6 mmmm m mmm a aaa a aaa 为数列 n a中的项 故 m 2 8 a 为整数 又由 1 知 2m a 为奇数 所以 2 231 1 2 m amm 即 经检验 符合题意的正整数只有2m 20 等比数列 1 1 2 3 15 提示 4 1 a 2 2 a 3 a成等差数列 4 22 1321114 44 44 440 215aaaaa qa qqqq 即 S 4 10 5 6 提示 设公比为 q 则 3 63 33 1 Sq S SS 1 q3 3 q3 2 1 3 7 3 于是 6 36 9 3 11247 1123 Sqq Sq 7 15 提示 对于 44 3 14 441 3 4 1 1 15 1 1 aqsq saa q qaqq 8 提示 在等比数列中 在等比数列中 2n n a 2 11nnn aaa 1 n a 即数列成等差数列 所以 2 11 1 1 1 nnn aaa 11 2 nnn aaa n a 9 提示 由 2 525 2 3 n n aan 得 n n a 22 2 0 n a 则 1 2 n aa 2 n Sn 2 n 16 n n a2 3212 loglogaa 2 122 12 31lognna n 10 102 提示 根据得 所以数列成等比数列 公比为 10 1 lg1 lg nn xx 1 10 n n x x n x 100102 10110220012100 1010 xxxxxx 101102200 lg 102xxx 11 10 提示 由已知得 所以 令 1 2 123 1 1002 2 n n n nn pa aaa 1 1 1002 2 n n n p p 得 即 12 提示 设 1 1 n n p p 9n 1091 ppp 1 32 21 12221023 n 得 正方形的边长构成等比数列 其中首项为 公比也是 所以第211023 n 10n 2 2 2 2 10 个正方形的边长为 10 21 232 13 解 I 由 1 1 a 及 1 42 nn Sa 有 121 42 aaa 21121 325 23aabaa 由 1 42 nn Sa 则当2n 时 有 1 42 nn Sa 得 1111 44 22 2 nnnnnnn aaaaaaa 又 1 2 nnn baa 1 2 nn bb n b 是首项 1 3b 公比为 的等比数列 II 由 I 可得 1 1 23 2n nnn baa 1 1 3 224 nn nn aa 数列 2 n n a 是首项为 1 2 公差为 3 4 的等差数列 1331 1 22444 n n a nn 2 31 2n n an 21 数列的通项与求和 1 85 2 3 1 4 5 6 7 765 提示 199 100 10 1 56 2 2121 2 nn 1 1 22 2n n 成等差数列 数列前 20 项为负数 数列前 30 项的绝对值的和 n a 363 n an 303020 2765TSS 8 设公差为d 则 41 1 1 2 dd d 0 解得d 2 10 S 100 17 9 7 3 设公比为 q 则 3 63 33 1 Sq S SS 1 q3 3 q3 2 于是 6 36 9 3 11247 1123 Sqq Sq 10 提示 由叠加可得 2lnn 1 1 ln 1 nn aa n 11 2 7 44 nn 设数列 n a的公差为d 则根据题意得 22 22 25 dd 解得 1 2 d 或 0d 舍去 所以数列 n a的前n项和 2 1 17 2 2244 n n nnn Sn 12 470 由于 22 cossin 33 nn 以 3 为周期 故 222222 222 30 12452829 3 6 30 222 S 22 1010 2 11 32 31 59 10 11 3 9 25470 222 kk kk kk 13 I 由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出数列 n b的通项公式 1 1 2 2 n n b nN II 由 I 知 1 2 2 n n n an n S 1 1 2 2 n k k k k 1 11 2 2 nn k kk k k 而 1 2 1 n k kn n 又 1 12 n k k k 是一个典型的错位相减法模型 易得 11 1 2 4 22 n kn k kn n S 1 n n 1 2 4 2n n 22 数列综合训练 1 90 2 2 2 3 1 4 5 6 60 7 提示 1 313 22 77 n 9 n 猜想 或由已知得 211312 21 99 aaaaaa 422 4 9 aaa 9 n n a 11nn aaa 即成等差数列 8 提示 n a 1 2 5 10 5 311 1 322 S qq S 18 9 提示 且得 等比数列的公比 2 5 5 3 n 2 8513 aa a 0d 1 2da n b 8 5 5 3 a q a 10 15 提示 4 1 a 2 2 a 3 a成等差数列 2 5 5 3 n n b 22 1321114 44 44 440 215aaaaa qa qqqq 即 S 11 提示 前 n 1 行共有正整数 1 2 n 1 个 即个 因此第 n 行第 3 2 6 2 nn 2 2 nn 个数是全体正整数中第 3 个 即为 2 2 nn 2 6 2 nn 12 20 由 1 a 3 a 5 a 105 得 3 3105 a 即 3 35a 由 246 aaa 99 得 4 399a 即 4 33a 2d 4 4 2 41 2 n aann 由 1 0 0 n n a a 得20n 13 解 1 由题设知 11 1 1 n SSndand 当 n 2 时 22 1111 232 nnnnnnn aSSSSSSd add n 由得解得 213 2 aaa 22 111 2 2 23 dadadad 1 ad 故当 n 2 时 又所以数列的通项公式为 22 2 n andd 2 1 ad n a 2 21 n and 2 因为 222 1 35 21 0 n Sndn dd 所以 22222 mnk SSmn dSk d 由得故有 mnk SScS 22222 mn dck d 22 2 mn c k 因为 22 2 mnmn mn 所以即 222222 2 mnmnmnmn 22 222 3 9 222 mnk mnk 所以 右边 由于 恒成立 故 cmax 22 2 9 2 mn k 9 2 23 三角函数的概念 1 2 3 二 4 充分而不必要 5 二 6 7 提示 4 3 5 5 3 44 2 3 3 3 19 分角终边落在一 三象限讨论 8 提示 利用单位圆解答 22 33 xkkkZ 9 由已知 在第三象限 3 5 2 2 43 cos1 sin1 55 10 11 提示 由解得 所以 62 3 6 2532 25123 yx yx 21 12 y x 6 r 所以 12 62 3 sin 6 10sin 60 t 13 又 2 3 13 sin 13 4 ya r a 3a sin00y 即3a 24 同角三角函数的关系及诱导公式 4 7 2 2 3 2 23 16 3 2 3 2 000 sin11sin168cos10 由于正弦函数在sin160sin 18012 sin12 cos10cos 9080 sin80 sinyx 区间上为递增函数 因此 即 0 90 sin11sin12sin80 sin11sin160cos10 12 13 4 5 22 22 22 sinsincos2cos sinsincos2cos sincos 2 2 tantan2 tan1 4224 4 15 m 提示 设直角三角形的两个锐角分别为 则可得 cos sin 3 方程 4x2 2 m 1 x m 0 中 4 m 1 2 4 4m 4 m 1 2 0 当 m R 方程恒有两实根 又 cos cos sin cos cos cos sin cos 2 1 m 4 m 由以上两式及 sin2 cos2 1 得 1 2 2 解得 m 4 m 2 1 m 3 当 m 时 cos cos 0 cos cos 0 满足题意 3 2 13 4 3 当 m 时 cos cos 0 这与 是锐角矛盾 应舍去 3 2 31 20 综上 m 3 11 3 11 cos cos 22 tan 9 tan 910 tan tan 为第一或第四象限的角 cos0cos1 且 tan3 12 5 3 3 解 a 5 cos cos cos 666 a 2 sin sin sin cos 3336 25 三角函数的图象 1 2 右 3 4 5 618 4 26 k xkZ 0 312 k kZ 6 提示 即把函数的图象上每一点向右平移个单位 2 2cosyx 1 cos2 2 x xysin 2 1 2 得到的图象 再将图象上每一点的横坐标压缩为原来的一半 得到函数 1 sin 22 yx 的图象 11 sin 2 cos2 222 yxx 8 由图象可得最小正周期为 于是 f 0 f 注意到与 关于对称 所以 f f 2 3 2 3 2 3 2 3 2 7 12 2 3 2 2 3 9 1 2 6 tantan ta 6446 nyxyxx 向右平移个单位 又 1 6 4 662 kkkZ min 1 0 2 10 11 提示 所以3 3 2 T 2 3 T 3 12 0 由图象知最小正周期 T 故 3 又 x 时 f x 0 即 3 2 44 5 3 2 2 4 2 0 可得 所以 2 0 4 3sin 4 7 12 f 412 7 3sin 13 1 振幅 周期 初相 2 将正弦函数的图象向右平移个单位长3 A2 T 3 xysin 3 度 把所得曲线上的每一点的横坐标变为原来的倍 纵坐标不变 再把曲线上每一点的纵坐标变为原 2 21 来的倍 横坐标不变 就可以得到函数的图象 3 略 3 32 sin 3 xxf 26 三角函数的性质 1 2 3 3 4 x xkkZ 22 62 xkxkkZ 4 5 6 7 5 提示 利用2 3 0 22 2fxf x k 1 作出与的图象 要使不等式成立 由图可知须 2 sin 1 x y kxy 2 kx x 2 sin k 1 9 提示 sin x cos x sin x cos x 33 cos x cos x sin x sin x 2sin sinX 2sinXcos 33 sinX 不恒为 0 tan 10 提示 3 2 522 sin 33333 ffff 11 14 函数在 是增函数 显然又为奇函数 函数图象关于原点对xxxftansin 2 2 称 因为 14262271 2aaaaa 所以 所以当时 12722614 0f af af af af a 14k 0 k af 12 1 提示 1 cos233111 sin2sin2cos2sin 2 2222262 x f xxxxx 因为函数 f x 的最小正周期为 且 0 所以解得 1 2 2 13 解 由题意得 kZ 11tan 01tan 01cos2 x x x 0tan 1tan 2 1 cos x x x kx kxk kxk 4 3 2 4 2 3 2 3 2 2k x 2k 或 2k0 得 因为周期为 区间的长度为 所以当取最小 4 4 2a 5 12 12 2 12 x 值 4 即 sin 1 6 10 提示 4 9 22 111 sinsin sin1 222 y 而 当时 22 3 sinsinsin0 2 2 0sin 3 2 sin 3 max 4 9 y 11 1 因为所以 sincos 4 fxfxx sincos 4444 ff 故 21 4 f cossin 1 44444 fff 12 提示 3 2 1 cos231 sin2sin 2 2226 x f xxx 5 2 42366 xx max 13 1 22 f x 13 2sincos2sin cossin2f xxxxxx 函数的最小正周期为 f x 由 2 623 xx 3 sin21 2 x 在区间上的最大值为 1 最小值为 f x 6 2 3 2 28 和差倍角的三角函数 23 2 3 2 1 1 2 32 6 10 7 11 2cos10 12 提示 23 sin7cos15 sin8sin 158 cos15 sin8 tan1523 cos7sin15 sin8cos 158 sin15 sin8 提示 1 cos2cos 3 4 tantan5 1 tantan5 tan 1 tantan6 2 1tantan1 6 3 tan0 tan0 0 0 0 24 又且所以 10 2 因为 当是 函数取 13tan cosf xxx cos3sinxx 2cos 3 x 3 x 得最大值为 2 11 12 3 3 4 2 1cos 2sincos sinsin 2 f xxxx sinsin coscos sinsinxxxx sin coscos sinxx sin x 因为函数 f x 在处取最小值 所以 由诱导公式知 因为 所 xsin 1 sin1 0 以 2 13 1 f x cos 2x sinx 3 2 1 cos213 cos2 cossin2 sinsin2 33222 x xxx 所以函数 f x 的最大值为 最小正周期 13 2 2 所以 因为 C 为锐角 所以 2 c f 13 sin 22 C 4 13 sin 2 C 3 C 又因为在ABC 中 cosB 所以 所以 3 12 sin3 3 B 21132 23 sinsin sincoscossin2 32326 ABCBCBC 29 正弦定理和余弦定理 1 2 2 3 4 4cm 和 4cm 5 50 6 7 10515 或60 153 120 34 3 10 24 A B C 为 ABC 的内角 且 4 cos 35 BA 23 sin 35 CAA 8 2 因为 23134 3 sinsincossin 32210 CAAA 2 5 cos 25 A 又由 得 2 34 cos2cos1 sin 255 A AA 3AB AC cos3 bcA 5bc 9 由 8 知 而 所以所以 1 sin2 2 ABC SbcA 2 55 bc1 c5 b 5232125cos2 22 Abccba 10 2 12 sin2sin2coscos ACBCACAC 23 由锐角ABC 得0290045 又01803903060 故 23 3045cos 22 2cos23ACA 11 4中则由正弦定理及余弦定理有 ABC sincos3cossin ACAC 化简并整理得 又由已知 222222 3 22 abcbca ac abbc AA 222 2 acb 22 2acb 解得 2 4bb 40 bb 或舍 12 2 2 解析 本小题考查三角形面积公式 余弦定理以及函数思想 设 BC x 则 AC 2x 根据面积公式得 2 11 sin21 cos 22 ABC SAB BCBxB 根据余弦定理得 222222 4 2 4 cos 244 ABBCACxxx B AB BCxx 代入上式得 2 222 4128 12 1 416 ABC xx Sx x 由三角形三边关系有 22 22 xx xx 解得2 222 22x 25 故当2 3x 时 ABC S 取得最大值2 2 巧思妙解 设 2222 1 22 1 0 1 0 1 yxBCyxACyxCBA 22 2 2 1 8 3 016 2222 C ySyxxyx 13 1 因为 即 sinsin tan coscos AB C AB sinsinsin coscoscos CAB CAB 所以 sincossincoscossincossinCACBCACB 即 sincoscossincossinsincosCACACBCB 得 所以 或 不成立 sin sin CABC CABC CABC 即 得 所以 2CAB 3 C 2 3 BA 又因为 则 或 舍去 1 sin cos 2 BAC 6 BA 5 6 BA 得 5 412 AB 2 162 sin33 28 ABC SacBac 又 即 得 sinsin ac AC 23 22 ac 2 2 2 3 ac 30 三角函数综合训练 1 2 3 4 5 6 1 511 1212 kkk Z 3 2 5 21 44 7 8 f xsincoscossincos 46464 xxx 33 sincos 2424 xx 3sin 43 x 故的最小正周期为 T 8 f x 2 4 8 提示 当时 故 错 2 0 1cossin aa 若为减函数则 此时 0 故 错xycos Zkkkx 2 2 xsin 当 x 分别去时 y 都是 0 故 错 2 26 既有最大 最小值 又是偶函数 故 对 2 sin 2cosxxy 1coscos2 2 xx 最小正周期为 故 错 6 2 sin xy 2 9 为锐角 4 AB 510 sin sin 510 AB 22 2 53 10 cos1 sin cos1 sin 510 AABB 2 53 105102 cos coscossinsin 5105102 ABABAB 0AB 4 AB 10 提示 若 则范围为 0 错 2 2 若 则 m 3 9 sin 5 3 m m 5 24 cos m m 又由得 m 0 或 m 8 m 8 故 错1cossin 22 11 由及正弦定理得 3 32 sinacA 2sinsin sin3 aAA cC 是锐角三角形 3 sin0 sin 2 AC QABC Q 3 C 12 cos AC cosB 及 B A C 得 3 3 2 cos AC cos A C 得 sinAsinC 3 2 3 4 又由 ac 及正弦定理得 得 2 b 2 sinsinsin BAC 2 3 sin 4 B 或 舍去 于是 B 或 B 3 sin 2 B 3 sin 2 B 3 2 3 又由 知或所以 B 2 bac ab cb 3 13 解 1 由最低点为得 A 2 2 2 3 M 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为得 即 2 2 T 2 T 22 2 T 27 由点在图象上的 2 2 3 M 24 2sin 2 2 1 33 即si n 故 4 2 32 kkZ 11 2 6 k 又 0 2sin 2 266 f xx 故 2 7 2 12 2636 xx 当 即时 取得最大值 2 当2 6 x 2 6 x f x 7 2 66 x 即时 取得最小值 1 故的值域为 1 2 2 x f x f x 31 向量的概念与线性运算 1 2 3a 4b 3 4 5 2 6 直角三角形 AB b a 2 1 11 22 ab 7 60 提示 通过数形结合 圆心角 AOB 为 120 8 因为2BCBABP 所以点 P 为线段 AC 的中点 所以应该填 9 8k 10 提示 12 33 mn 2 1112 3 2333