高中数学 第1部分 第一章 §8 最小二乘估计配套课件 北师大版必修3.ppt

第一章统计 8最小二乘估计 理解教材新知 应用创新演练 考点一 把握热点考向 考点二 某科研单位研制出一种新的高科技户外健身器材 为了不因天气等外界因素的变化而影响使用效果 在此种产品表面进行腐蚀刻线试验 得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表 根据表中数据 可作散点图如下图所示 问题1 腐蚀深度y与腐蚀时间x之间是否具有相关关系 提示 由散点图可知 变量y与x之间具有相关关系 问题2 如何预测腐蚀时间x 100s时的腐蚀深度 提示 可以根据散点图作出一条直线 使直线两侧的点分布均匀 求出直线方程 利用方程预测 1 最小二乘法 1 定义 如果有n个点 x1 y1 x2 y2 xn yn 可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y a bx的接近程度 y1 a bx1 2 y2 a bx2 2 yn a bxn 2 使得上式达到最小值的直线y a bx就是我们所要求的直线 这种方法称为最小二乘法 2 应用 利用最小二乘法估计时 要先作出数据的图 如果呈现出线性关系 可以用最小二乘法估计出线性回归方程 如果呈现出其他的曲线关系 我们就要利用其他的工具进行拟合 散点 散点图 散点图 系数 1 线性回归方程的应用 1 描述两变量之间的依存关系 利用线性回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系 2 利用回归方程进行统计控制规定y值的变化 通过控制x的范围来实现统计控制的目标 3 注意作回归分析要有实际意义 回归分析前 最好先作出散点图 回归直线不要外延 例1 关于人体的脂肪含量 百分比 和年龄关系的研究中 得到如下一组数 1 判断它们是否有相关关系 若有相关关系 请作一条拟合直线 2 用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程 思路点拨 1 作出散点图 通过散点图判断它们是否具有相关关系 并作出拟合直线 2 利用公式求出线性回归方程的系数a b即可 精解详析 1 以x轴表示年龄 y轴表示脂肪含量 万分比 画出散点图 如下图 一点通 1 最小二乘法的适用条件 每个变量必须具有线性相关性 若题目没有说明相关性 必须对两个变量进行相关性检验 2 注意事项 1 利用求回归方程的步骤求线性回归方程的方法实质是一种待定系数法 2 计算a b的值时 用列表法理清计算思路 减少计算失误 同时 计算时 尽量使用计算机或科学计算器 1 2011 江西高考 为了解儿子身高与其父亲身高的关系 随机抽取5对父子的身高数据如下 答案 c 2 某医院用光电比色计检验尿汞时 得尿汞含量 毫克 升 与消化系数如下表 由此得回归直线的斜率是 精确到0 01 答案 38 14 例2 2011 安徽高考 某地最近十年粮食需求量逐年上升 下表是部分统计数据 1 利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y bx a 2 利用 1 中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量 思路点拨 通过公式计算回归直线方程的系数a与b 利用回归直线方程预测该地2012年的粮食需求量 精解详析 1 由所给数据可以看出 年需求量与年份之间是近似直线上升 下面求回归直线方程 为此对数据预处理如下 2 利用直线方程y 6 5 x 2006 260 2 可预测2012年的粮食需求量为6 5 2012 2006 260 2 6 5 6 260 2 299 2 万吨 一点通 用线性回归方程估计总体的一般步骤 1 作出散点图 判断散点是否在一条直线附近 2 如果散点在一条直线附近 用公式求出a b并写出线性回归方程 3 根据线性回归方程对总体进行估计 3 2011 山东高考 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 根据上表可得回归方程y bx a中的b为9 4 据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 a 63 6万元b 65 5万元c 67 7万元d 72 0万元 答案 b 4 2011 广东高考 某数学老师身高176cm 他爷爷 父亲和儿子的身高分别是173cm 170cm和182cm 因儿子的身高与父亲的身高有关 该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm 解析 儿子和父亲的身高可列表如下 答案 185 1 求线性回归方程时 应注意只有在散点图大致呈线性相关时 求出的线性回归方程才有实际意义 否则 求出的线性回归方程毫无意义