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第三讲二项式定理及其应用 注意 1 二项式 a b n的展开式有n 1项 是和的形式 各项的幂指数规律是 各项的次数和都等于二项式的幂指数n 字母a按降幂排列 从第一项起 次数由n逐项减1直到0 字母b按升幂排列 从第一项起 次数由0逐项加1直到n 中间两项 增大 减小 中间一项 2n 1 2n 3 二项式系数最大项必定是中间项 而系数最大的项就不一定是中间项 如果求系数最大的项 往往需要通过解不等式组来处理 但当二项式系数与各项系数只有正负差别时 可考虑系数最大项必在正数项中选择 简化计算 4 理解二项式系数的有关性质 不仅在于性质本身 而且要掌握其性质背后体现的数学思想方法 如性质第 3 4 条充分体现了赋值法的应用 这是与二项式系数的性质有关的问题求解中经常使用的方法 答案 d 2 2012梧州测试 若 x 1 5 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a5 x 1 5 则a4等于 a 10b 32c 10d 32答案 a 答案 c 4 已知 1 x n a0 a1x a2x2 anxn n n 若5a1 2a2 0 则a0 a1 a2 a3 1 nan 答案 64 答案 40 题后总结 求展开式中的指定项 一般先求出展开式的通项式 整理成变量的指数的形式 然后令指数为指定形式即可求出对应的项数 进而可以求出对应的项 题后总结 在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负符号 当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异 二项式系数只与二项式的指数和项数有关 与二项式无关 而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关 还与二项式有关 值得注意的是 本例 2 中是求 系数的绝对值最大的项 若改为 系数最大的项 又该如何处理 因为第4项的系数为负值 所以系数最大项必是第3项或第5项中的某一项 比较这两项的系数c28与c26的大小即可 题后总结 1 对于二项式定理 要求不仅会正用 而且要会逆用 会变用 2 应用二项式定理证明整除性问题与求余数问题时关键是要巧妙地构造二项式 把被除式化为含有相关除式的二项式展开 然后采用 配凑法 消去法 等研究求解 易错点 混淆项的系数与二项式系数致误若在 2x 1 n的展开式中 第3项的二项式系数与第8项的二项式系数相等 则其展开式中所有项的系数之和等于a 29b 211c 39d 311 解析 展
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