三明市普通高中2018—2019学年第一学期期末质量检测高三理科数学参考答案定稿.pdf

理科数学参考答案 第 1 页 共 7 页 三明市普通高中 2018 2019 学年第一学期期末质量检测 高三理科数学参考答案及评分细则 评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分 60 分 1 A 2 B 3 C 4 D 5 D 6 B 7 A 8 C 9 A 10 B 11 D 12 C 二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分 20 分 13 1 4 14 16 15 1 2 16 32 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 1 因为 2 2 nnn Saa 所以当2n 时 2 111 2 nnn Saa 则 22 111 2 nnnnnn SSaaaa 即 22 11 2 nnnnn aaaaa 2 分分 所以 11 10 nnnn aaaa 因为0 n a 所以 1 1 0 nn aa 即 1 1 nn aa 所以数列 n a是公差为1的等差数列 4 分分 由 2 111 2Saa 得 2 111 2aaa 因为 1 0a 解得 1 1a 所以 n an 6 分分 2 由 1 知2n n bn 理科数学参考答案 第 2 页 共 7 页 所以 23 22 23 2 2n n Tn 231 2222 1 22 nn n Tnn 8 分分 得 231 222 22 nn n Tn 10 分分 1 2 12 2 12 n n n 1 1 22 n n 1 1 22 n n Tn 12 分分 18 解法一 1 在ABC 中 根据余弦定理 222 2coscababC 又因为 22 abac 所以 2 2cosabbabC 又因为0b 所以2 cosb aaC 2 分分 根据正弦定理 sinsin2sincosBAAC 因为 ABC 即 ACB 则sinsincoscos sinBACAC 所以sinsincossincosACAAC 即 sinsinACA 分分 因为 0 A C 则 CA 所以CAA 或 CAA 应舍去 所以2CA 6 分分 2 因为ABC 的面积为 22 sinaB 所以 22 1 sinsin 2 aBacB 因为0 sin0aB 所以2 sincaB 则sin2sinsinCAB 8 分分 因为2CA 所以2sin cos2sin sinAAAB 所以sincosBA 因为 0 2 A 所以 cossin 2 AA 即 sinsin 2 BA 10 分分 所以 2 BA 或 2 BA 当 2 BA 即 2 AB 时 2 C 当 2 BA 时 由 3 2 AA 解得 8 A 则 4 C 综上 2 C 或 4 C 12 分分 理科数学参考答案 第 3 页 共 7 页 解法二 1 2222 cos 222 bcababab A bcbcc 即2 cosa bcA 2 分分 根据正弦定理 sinsin2sincosABCA 因为 ABC 即 ACB 则sinsincoscos sinBACAC 所以sinsincoscossinACAAC 即 sinsinACA 4 分分 因为 0 A C 则 CA 所以CAA 或 CAA 应舍去 所以2CA 6 分分 2 同解法一 6 分分 解法三 1 在ABC 中 根据余弦定理得 2222 cos 222 bcababab A bcbcc 2222 cos 222 abcbabba C ababa 2 分分 则 2 22 2 2 cos22cos121 222 abbaba AA caaba 4 分分 所以coscos2CA 因为 0 A C 所以2CA 6 分分 2 同解法一 12 分分 19 1 取BD的中点O 连结OC 因为BCCD 所以COBD 因为AB 平面EFG AB 平面ABD 平面ABD 平面EFGGF 所以AB GF 2 分分 又因为 1 4 AGAD 所以 1 4 BFBD 所以F为OB的中点 又因为E为BC的中点 所以EF CO 所以EFBD 3 分分 因为平面ABD 平面BCD 平面ABD 平面BCDBD EF 平面BCD 所以EF 平面ABD 因为EF 平面EFG 所以平面EFG 平面BA D 5 分分 O 理科数学参考答案 第 4 页 共 7 页 2 由 1 可知 3 3 4 DFBD 在 ADF中 由余弦定理得16 5 3 532925 2 AF 所以4 AF 所以 222 ADDFAF 所以BDAF 因为平面 ABD平面BCD 平面ABD 平面BDBCD 所以 AF平面BCD 以F为坐标原点 FE FD FA所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标 系xyzF 则 0 0 0 F 3 0 0 E 3 0 3 4 G 所以 3 0 0 FE 3 0 3 4 FG 8 分分 设平面EFG的法向量为 1 x y z n 由 1 1 0 0 FE FG n n 得 0 3 30 4 x yz 取4y 则0 x 1 z 所以 1 0 4 1 n 又 0 0 4 A 2 3 1 0 C 2 3 1 4 AC 设直线AC平面EFG所成角为 则 1 1 1 88 493 sin cos 493 1729 AC AC AC n n n 所以直线AC平面EFG所成角的正弦值为 8 493 493 12 分分 20 解 1 因为P是E上的点 且 12 F F为E的左 右焦点 所以 12 2PFPFa 又因为 12 2FFc 12 PFF 的周长为6 所以226ac 2 分分 当P为短轴端点时 12 PFF 的面积最大 所以3bc 3 分分 y xT N M Q P F2 O 理科数学参考答案 第 5 页 共 7 页 又因为 222 abc 解得2 3 1abc 所以E的方程为 22 1 43 xy 5 分分 2 依题意 直线l与x轴不重合 故可设直线l的方程为1xmy 由 22 1 43 1 xy xmy 消去x得 22 34 690mymy 7 分分 设 1122 P xyQ xy 则有0 且 12 2 6 34 m yy m 12 2 9 34 y y m 设 PMTPQTQNT 的面积分别为 123 S SS 因为 123 S SS成等差数列 所以 213 2SSS 即 2123 3SSSS 则 121212 11 3 1 22 tyytxtxyy 即 12 3 1 2 ttxx 得 12 3 txx 又 11 1xmy 22 1xmy 于是 1212 3 2 1 tmymym yy 所以 2 2 6 1 34 m t m 由2t 得 2 2 6 12 34 m m 解得 2 4 3 m 10 分分 设直线PQ的斜率为k 则 1 k m 所以 2 3 0 4 k 解得 3 0 2 k 或 3 0 2 k 所以直线PQ斜率的取值范围是 33 0 0 22 12 分分 21 解 1 令 1 lnh xf xxx x 即 11 2lnh xxxx xx 所以 222 111 11 11ln1lnh xxxx xxxxx 理科数学参考答案 第 6 页 共 7 页 令 0h x 得1x 3 分分 当 0 1x 时 0h x 当 1 x 时 0h x 所以 h x在 0 1上单调递增 在 1 上单调递减 所以 10h xh 所以 1 lnf xxx x 5 分分 2 因为不等式 2 ln2 e f xax 恒成立 即 12 ln0 e xax x 恒成立 令 12 ln e p xxax x 则 2 2 1xax px x 令 2 00 10 xax 则 0 0 1 ax x 则 p x在 0 0 x上单调递减 在 0 x 上单调递增 故只需 0 0p x 即 000 00 112 ln0 e xxx xx 令 112 ln e q xxxx xx q x单调性与 1 中 h x一致 即 q x在 0 1上单调递增 在 1 上单调递减 又 1 e 0 e qq 所以 0 1 e e x 即 11 e e ee a 12 分分 22 解 1 由 sin 1 4 得 22 sincos1 22 即直线l的直角坐标方程为20 xy 经检验 2 0 P满足方程20 xy 3 分分 所以点P在直线l上 5 分分 2 曲线C的参数方程为 2cos sin x y 为参数 所以曲线C的普通方程为 2 2 1 4 x y 理科数学参考答案 第 7 页 共 7 页 由 1 可得直线l的参数方程为 2 2 2 2 2 xt yt t为参数 7 分分 将参数方程代入曲线C得 2 5440tt 设A B对应的参数为 1 t 2 t 则 12 4 5 tt 12 4 0 5 t t 所以 1212 4 6 5 PAPBtttt 所以PBPA 的值为 4 6 5 10 分分 23 解 1 当6a 时 2 4 4 6 210 46 2 6 x f xxxxx