高考数学总复习 9.7多面体、球课件 人教版.ppt

第七讲多面体 球 一 多面体1 多面体若干个平面多边形围成的几何体 叫做多面体 2 凸多面体把多面体的任何一个面伸展为平面 如果所有其他各面都在这个平面的同侧 这样的多面体叫做凸多面体 3 正多面体每个面都是有相同边数的正多边形 且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体 叫做正多面体 4 简单多面体表面能经过连续变形变为球面的多面体 叫做简单多面体 注意 1 多面体是在棱柱 棱锥等概念的基础上归纳产生的一个更一般化的概念 棱柱 棱锥是它的特殊情形 高中立体几何中主要以研究棱柱 棱锥为主 其他多面体的问题也常常可以通过割补 转化为棱柱 棱锥来解决 2 正多面体的面是全等的正多边形 各条棱是相等的线段 正多面体的面数不是任意的 它只有五种 正四面体 正六面体 正方体 正八面体 正十二面体和正二十面体 二 球1 球的定义半圆以它的直径为旋转轴 旋转所成的叫做球面 球面所围成的叫做球体 简称球 半圆的圆心叫做球心 连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径 连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 其中半径是球的基本量 曲面 几何体 2 球的截面的性质 1 球心和截面圆圆心的连线于截面 2 球心到截面的距离d与球的半径r及截面的半径r有下面的关系 r 3 大圆与小圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆 垂直 4 球面距离在球面上 两点之间最短连线的长度 就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度 我们把这个弧长叫做两点的球面距离 5 球的体积公式半径是r的球的体积v 球的表面积公式 半径是r的球的表面积s 4 r2 注意 1 球面仅仅是指球的表面 它只有一个面 而球体不仅包括球的表面 同时还包括球面所包围的空间 球面也可以看作与定点 球心 的距离等于定长 半径 的所有点的集合 轨迹 2 教材上介绍的推导球的体积公式的一种方法 体现了 分割 求近似和 再由近似和转化为准确和 的思想方法 这种方法实际上就是定积分的一种具体运用 分割 求和 化为准确和 这一重要数学思想方法 在今后进一步学习微积分等近代数学知识时也会用到 3 推导球的表面积公式的方法 仍然是 分割 求近似和 再由近似和转化为准确和 这与推导球的体积公式时所用的方法在思想上是一脉相承的 只是在具体分割的作法上有所不同 推导球的体积公式时 是将球分割为许多 小圆片 推导球的表面积公式时 是将球分割为许多 小锥体 由于前面已经推出了球的体积公式 所以在推导球的表面积公式时 借助于球的体积公式进行了变形 对于这一推导 同样要了解其所运用的基本思想方法 4 要求两点的球面距离 应找到过这两点的大圆 然后确定劣弧所对的圆心角 运用弧长公式l r即可求得 5 球与多面体的组合问题要多利用对称性质进行求解 画图时可以只画出轴截面图 这样可使解题更加简洁 1 给出下列命题 其中正确的有 底面是正多边形 而侧棱长与底面边长相等的棱锥是正多面体 正多面体的面不是三角形就是正方形 长方体的各个面是正方形时 它就是正多面体 正三棱锥是正四面体 a b c d 解析 根据正多面体的概念判断 可得 是正确的 故选b 答案 b 答案 b 3 设m n是球o半径op上的两点 且np mn om 分别过n m o作垂直于op的平面 截球面得三个圆 则这三个圆的面积之比为 a 3 5 6b 3 6 8c 5 7 9d 5 8 9 答案 d 4 有一种多面体的饰品 其表面由6个正方形和8个正三角形组成 如图 ab与cd所成角的大小是 解析 作出多面体的部分图形 如图 可知cd fg ab ef 则ab与cd所成的角为 efg efg为等边三角形 efg 60 5 正三棱柱abc a1b1c1内接于半径为2的球 若a b两点的球面距离为 则正三棱柱的体积为 答案 8 已知正八面体的棱长为a 求 1 两个相邻的面的中心间的距离 2 两个相对面的距离 题后总结 求距离的问题 要注意转化思想和等面积 等体积方法的应用 题后总结 求球面距离的步骤 1 求弦长ab 2 求球心角 aob 3 利用公式l r 求a b两点间的球面距离 答案 b 12分 有一个倒圆锥形容器 它的轴截面是一个正三角形 在容器内放一个半径为r的铁球 并注入水 使水面与球正好相切 然后将球取出 求这时容器中水的深度 活学活用 2 圆柱形容器内盛有高度为8cm的水 若放入三个相同的球 球的半径与圆柱的底面半径相同 后 水恰好淹没最上面的球 如图所示 则球的半径是 cm 答案 4 易错点 空间几何体体积计算错误如图所示 单位 cm 求图中阴影部分绕ab旋转一周所形成的几何体的体积 错因分析 注意这里是旋转图中的阴影部分 不是旋转梯形abcd 在旋转的时候边界形成一个圆台 并在上面挖去了一个 半球 其体积应是圆台的体积减去半球的体积 解本题易出现的错误就是误以为旋转的是梯形abcd 在计算时没有减掉半球的体积 状元笔记 计算空间几何体的体积时要注意的问题 1 分析清楚空间几何体的结构 搞清楚该几何体的各个部分的构成特点 2 进行合理的转化和一些必要的等积变换 如三棱锥的体积计算就可以通过