高考数学总复习 第二章第十一节 导数在研究函数中的应用课件 理.ppt

第十一节导数在研究函数中的应用 2 函数的极值与导数 1 若函数f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 且f a 0 而且在x a附近的左侧 右侧 则a点叫函数的极小值点 f a 叫函数的极小值 1 函数的单调性与导数 都小 f x 0 f x 0 2 若函数f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 且f b 0 而且在x b附近的左侧 右侧 则b点叫函数的极大值点 f b 叫函数的极大值 极大值和极小值统称为极值 3 函数的最值与导数 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条 的曲线 那么它必有最大值和最小值 都大 f x 0 f x 0 连续不断 2 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与 比较 其中 的一个是最大值 的一个是最小值 极值 端点处的函数值f a f b 最大 最小 1 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充要条件吗 提示 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充分不必要条件 2 导数值为0的点一定是函数的极值点吗 它是可导函数在该点取得极值的什么条件 提示 不一定 如函数f x x3 在x 0处 有f 0 0 但x 0不是函数f x x3的极值点 对于可导函数 若x x0为其极值点 则需满足以下两个条件 f x0 0 x x0两侧的导数f x 的符号异号 因此f x0 0是函数y f x 在点x x0取得极值的必要不充分条件 解析 f x 2x sinx的定义域为r f x 2 cosx 0恒成立 故f x 在其定义域内是增函数 答案 a 解析 y 3x2 a 由题意知 当x 1时 y 0 a 3 答案 b 答案 a 4 2011 福建高考 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1处有极值 则ab的最大值等于 a 2b 3c 6d 9 答案 d 2011 广东高考改编 设0 a 1 讨论函数f x lnx a 1 a x2 2 1 a x的单调性 思路点拨 1 转化为判定f x 的正负 2 在0 a 1 x 0时 进而把所求问题转化为求g x 2a 1 a x2 2 1 a x 1 0 或小于0 的解 利用导数研究函数的单调性 1 本题的实质是函数g x 的函数值的正负讨论 常见错误是对a的取值讨论不全面 或者忽视函数的定义域 2 1 可导函数f x 在 a b 上是增 减 函数的充要条件是 对 x a b 都有f x 0 f x 0 且f x 在 a b 的任何子区间内都不恒为零 f x 0 f x 0 是充分不必要条件 2 由函数f x 在 a b 上的单调性 求参数范围问题 可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 要注意 是否可以取到 若例题中函数f x 的解析式改为 函数f x x2 ax ex x r e为自然对数的底数 试求解如下问题 1 当a 2时 求函数f x 的单调递增区间 2 若函数f x 在 1 1 上单调递增 求a的取值范围 利用导数研究函数的极值 1 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 特别注意 导数为零的点不一定是极值点 2 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调增或减的函数没有极值 3 本题第 2 问求解的关键是转化 函数与方程 方程与不等式相互转化 设f x sinx cosx x 1 其中0 x 2 求函数f x 的极值 利用导数研究函数的最值 所以f x 的单调递增区间是 k 和 k 单调递减区间是 k k 若k 0 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下 所以f x 的单调递减区间是 k 和 k 单调递增区间是 k k 1 1 第 1 题中 f x 0的两根大小关系不确定 故从讨论两根大小入手分类求解 2 解答第 2 题时 应借助第 1 题的结论 判断f x 在 0 上的单调性情况 并求f x 的最大值 构建关于k的不等式 2 求闭区间上可导函数的最值时 对函数极值是极大值还是极小值 可不作判断 只需要直接与端点的函数值比较即可获得 2011 辽宁高考改编 设函数f x x ax2 blnx 曲线y f x 过p 1 0 且在p点处的切线斜率为2 1 求a b的值 2 令g x f x 2x 2 求g x 在定义域上的最值 2011年各省市几乎都考查了导数的应用 重点是利用导数研究函数的