高考数学总复习 第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 新人教A版.ppt

第三节空间点 直线 平面之间的位置关系 1 了解可以作为推理依据的公理和定理 2 理解空间直线 平面位置关系的定义 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 一 平面的基本性质 二 直线与直线的位置关系 2 平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行 垂直于同一直线的两条直线有怎样的位置关系 提示 可能平行 相交或异面 三 直线和平面的位置关系 四 平面与平面的位置关系 1 空间四点中 三点共线是这四点共面的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析 三点共线和第四点一定共面 反之不成立 答案 a 2 直线a b c两两平行 但不共面 经过其中两条直线的平面的个数为 a 1b 3c 6d 0解析 如图所示 可知确定3个平面 答案 b 3 在空间四边形abcd的边ab bc cd da上分别取e f g h四点 如果ef与hg交于点m 那么 a m一定在直线ac上a m一定在直线ac上b m一定在直线bd上c m可能在直线ac上 也可能在直线bd上d m既不在直线ac上 也不在直线bd上解析 平面abc 平面acd ac m 平面abc m 平面acd 从而m ac 答案 a 解析 没有公共点的两直线或平行或异面 故 错 命题 错 此时两直线有可能相交 命题 正确 因为若直线a和b异面 c a 则c与b不可能平行 用反证法证明如下 若c b 又c a 则a b 这与a b异面矛盾 故 命题 也正确 若c与两异面直线a b都相交 由公理3可知 a c可能确定一个平面 b c也可确定一个平面 这样 a b c共确定两个平面 答案 5 如图所示 正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为 1 公理2的三个推论推论1 经过一条直线和直线外的一点 有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 这三个推论可以作为证明共面问题的理论依据 2 证明共面问题主要包括线共面 点共面两种情况 其常用方法如下 1 纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平面内 2 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 法二 活学活用 1 如图所示 已知l1 l2 l3 l4四条直线两两相交且不过同一交点 交点分别为a b c d e f 求证 四直线l1 l2 l3 l4共面 解 解法一 l1 l2 a 直线l1与l2确定一平面 b l1 l1 b 同理可证d 又 b l3 d l3 l3 同理可证 l4 所以四直线l1 l2 l3 l4共面 解法二 l1 l2 a 直线l1 l2确定一平面 设为 又 l3 l4 f 直线l3 l4确定一平面 设为 b d l3 e l4 且l3 l4 b d e 又 b l1 d e l2 且l1 l2 b d e 因为经过不共线的三个点有且只有一个平面 所以 与 重合 故四直线l1 l2 l3 l4共面 1 点共线问题证明空间点共线问题 一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点 再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上 2 线共点问题证明空间三线共点问题 先证两条直线交于一点 再证明第三条直线经过这点 把问题转化为证明点在直线上 如图 在四面体abcd中作截面pqr pq cb的延长线交于m rq db的延长线交于n rp dc的延长线交于k 求证 m n k三点共线 思路点拨 ef hg且ef hg ef hg可确定平面 e f h g四点共面 2 由 1 知efhg为平面图形 且ef hg ef hg 四边形efhg为梯形 设直线fh eg o o 直线fh 直线fh 平面acd o 平面acd 同理o 平面abc 又平面acd 平面abc ac 点o 直线ac 公理3 三直线fh eg ac共点 证明两直线为异面直线的方法 1 定义法 不易操作 2 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两直线平行或相交 由假设的条件出发 经过严密的推理 导出矛盾 从而否定假设肯定两条直线异面 此法在异面直线的判定中经常用到 3 客观题中 也可用下述结论 过平面外一点和平面内一点的直线 与平面内不过该点的直线是异面直线 如图 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是a1b1 b1c1的中点 问 1 am和cn是否是异面直线 说明理由 2 d1b和cc1是否是异面直线 说明理由 思路点拨 1 易证mn ac am与cn不异面 2 由图易判断d1b和cc1是异面直线 证明时常用反证法 2 是异面直线 证明如下 abcd a1b1c1d1是正方体 b c c1 d1不共面 假设d1b与cc1不是异面直线 则存在平面 使d1b 平面 cc1 平面 d1 b c c1 与abcd a1b1c1d1是正方体矛盾 假设不成立 即d1b与cc1是异面直线 1 求异面直线所成的角常用方法是平移法 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 2 求异面直线所成角的步骤 12分 已知三棱锥a bcd中 ab cd 且直线ab与cd成60 角 点m n分别是bc ad的中点 求直线ab和mn所成的角 思路点拨 则 mpn 60 或 mpn 120 4分若 mpn 60 因pm ab 所以 pmn是ab与mn所成的角 或所成角的补角 又因ab cd 所以pm pn 则 pmn是等边三角形 所以 pmn 60 即ab与mn所成的角为60 8分 若 mpn 120 则易知 pmn是等腰三角形 所以 pmn 30 即ab与mn所成的角为30 11分故直线ab和mn所成的角为60 或30 12分 特别提醒 本例在寻找异面直线ab与cd所成角时 易得出 mpn 60 这一种情况 从而导致结论只有一个的错误 活学活用 3 如图在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ab 2 ad 1 点e f g分别是dd1 ab cc1的中点 求异面直线a1e与gf所成角的大小 错源 空间点 线 面位置关系不清致误已知 是三个互不重合的平面 l是一条直线 给出下列四个命题 若 l 则l 若l l 则 若l上有两个点到 的距离相等 则l 若 则 其中正确命题的序号是 填上所有正确命题的序号 纠错 解本题可能出现的错误就是对空间点 线 面位置关系的判定定理和性质定理掌握不清导致误判 如对命题 可能对线面平行关系认识不清 误以为线在平面内也算平行 认为命题 正确 再如对点到平面的距离相等考虑不到点可能在平面两侧 认为命题 正确 正解 有直线l 的可能 中可以过直线l作第三个平面与平面 相交于直线m 根据线面平行的性质定理 知m l 又l 根据线面垂直的性质定理 得m 再根据面面垂直的判定定理 得 故 正确 中包含两个点在平面两侧的情况 在平面 内作与 和 交线垂直的直线m 根据面面垂直的性质定理 得m 再过直线m作平面 这个平面与平面 相交于直线n 根据面面平行的性质定理 知m n 根据线面垂直的性质定理 知n 再根据面面垂