高考数学总复习 第5章 第5节 数列的综合应用课件 新人教A版.ppt

第五节数列的综合应用 1 认识数列的函数特性 能结合方程 不等式和解析几何等知识解决一些数列综合题 2 能在实际情形中运用数列知识解决实际问题 一 数列综合应用题的解题步骤1 审题 弄清题意 分析涉及哪些数学内容 在每个数学内容中 各是什么问题 2 分解 把整个大题分解成几个小题或几个 步骤 每个小题或每个 步骤 分别是数列问题 函数问题 解析几何问题 不等式问题等 3 求解 分别求解这些小题或这些 步骤 从而得到整个问题的解答 具体解题步骤如下框图 二 数列应用问题的常见模型1 等差模型 一般地 如果增加 或减少 的量是一个固定的具体量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 其一般形式是 an 1 an d 常数 2 等比模型 一般地 如果增加 或减少 的量是一个固定的百分数时 该模型是等比模型 与变化前的量的比就是公比 3 混合模型 在一个问题中 同时涉及到等差数列和等比数列的模型 4 生长模型 如果某一个量 每一期以一个固定的百分数增加 或减少 同时又以一个固定的具体量增加 或减少 时 我们称该模型为生长模型 如分期付款问题 树木的生长与砍伐问题等 5 递推模型 如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an 1 或前n项 间的递推关系式 那么我们可以用递推数列的知识求解问题 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型 提示 单利公式是等差数列模型 复利公式是等比数列模型 1 若a b c成等比数列 则函数y ax2 bx c的图象与x轴的交点的个数为 a 0b 1c 2d 不能确定解析 由题意b2 ac ac 0 b2 4ac 3b2 0 答案 a 2 设等差数列 an 的公差d不为0 a1 9d 若ak是a1与a2k的等比中项 则k等于 a 2b 4c 6d 8解析 an a1 n 1 d n 8 d 且ak2 a1a2k 8 k d 2 9d 8 2k d k 4 答案 b 答案 c 答案 4 5 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员 第1名得全部资金的一半多一万元 第二名得剩下的一半多一万元 以名次类推都得到剩下的一半多一万元 到第10名恰好资金分完 则此科研单位共拿出 万元资金进行奖励 答案 2046 1 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点 特别是等差 等比数列的通项公式 前n项和公式以及等差中项 等比中项问题是历年命题的热点 2 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值 同时对两种数列的性质 要熟悉它们的推导过程 利用好性质 可降低题目的难度 解题时有时还需利用条件联立方程求解 活学活用 1 设 an 是公比大于1的等比数列 sn为数列 an 的前n项和 已知s3 7 且a1 3 3a2 a3 4构成等差数列 1 求数列 an 的通项 2 令bn lna3n 1 n 1 2 求数列 bn 的前n项和tn 1 解等差等比数列应用题 首先要认真审题 深刻理解问题的实际背景 理清蕴含在语言中的数学关系 把应用问题抽象为数学中的等差数列问题 使关系明朗化 标准化 然后用等差数列知识求解 这其中体现了把实际问题数学化的能力 也就是所谓的数学建模能力 2 解等差等比数列应用题的关键是建模 建模的思路是 从实际出发 通过抽象概括建立数列模型 通过对模型的解析 再返回实际中去 2011湖南高考 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备m m的价值在使用过程中逐年减少 从第2年到第6年 每年初m的价值比上年初减少10万元 从第7年开始 每年初m的价值为上年初的75 1 求第n年初m的价值an的表达式 特别提醒 与等比数列联系较大的是 增长率 递减率 的概念 在经济上多涉及利润 成本 效益的增减问题 在人口数量的研究中也要研究增长率问题 金融问题更多涉及复利的问题 这都与等比数列有关 1 设n年内 本年度为第一年 总投入为an万元 旅游业总收入为bn万元 写出an bn的表达式 2 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入 数列与其他知识的综合问题主要指的是用几何方法或函数的解析式构造数列 用函数或方程的方法研究数列问题 函数与数列的综合问题主要有以下两类 一是已知函数的条件 利用函数的性质图象研究数列问题 如恒成立 最值问题等 二是已知数列条件 利用数列的范围 公式 求和方法等知识对式子化简变形 从而解决函数问题 思路点拨 1 由已知代入函数解析式得an 1与an的关系从而获解 2 两两结合提取公因式利用第一步条件获解 3 利用裂项求和及数列性质求解 特别提醒 本题在求sn的取值范围时思路易受阻 原因是忽视了数列中常用单调性求解的方法 活学活用 同理 n 1 2rn 1 从而 n 1 n rn rn 1 2rn 1 将 n 2rn代入 解得rn 1 3rn 故 rn 为公比q 3的等