高三数学一轮复习 （基础知识+小题全取+考点通关+课时检测）2.9函数与方程课件 新人教A版.ppt

知识能否忆起 1 函数的零点 1 函数零点的定义 函数y f x 的图像与称为这个函数的零点 横轴的交点的横坐标 2 几个等价关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图像与x轴有交点 函数y f x 有零点 3 利用函数性质判定函数零点 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 并且在区间端点的函数值符号 即 则在区间 a b 内 函数y f x 至少有一个零点 即相应的方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实数解 2 二分法每次取区间的中点 将区间一分为二 再经比较 按需要留下其中一个的方法称为二分法 相反 f a f b 0 小区间 小题能否全取 1 教材习题改编 下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是 答案 c 2 教材习题改编 在以下区间中 函数f x x3 3x 3的零点所在的区间是 a 1 0 b 1 2 c 0 1 d 2 3 解析 注意到f 1 70 f 2 11 0 f 3 33 0 结合各选项知 c项正确 答案 c 3 若函数f x ax b有一个零点是2 那么函数g x bx2 ax的零点是 解析 答案 c 答案 2 3 5 已知函数f x x2 x a在区间 0 1 上有零点 则实数a的取值范围是 解析 函数f x x2 x a在 0 1 上有零点 f 0 f 1 0 即a a 2 0 解得 2 a 0 答案 2 0 1 函数的零点不是点 函数y f x 的零点就是方程f x 0的实数根 也就是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 所以函数的零点是一个数 而不是一个点 在写函数零点时 所写的一定是一个数字 而不是一个坐标 2 对函数零点存在的判断中 必须强调 1 f x 在 a b 上连续 2 f a f b 0 3 在 a b 内存在零点 这是零点存在的一个充分条件 但不必要 3 对于定义域内连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 例1 2012 唐山统考 设f x ex x 4 则函数f x 的零点位于区间 a 1 0 b 0 1 c 1 2 d 2 3 确定函数零点所在的区间 自主解答 f x ex x 4 f x ex 1 0 函数f x 在r上单调递增 f 1 e 1 1 4 5 e 10 f 1 f 2 0 故零点x0 1 2 答案 c 利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图象是否连续不断 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 答案 b 判断函数零点个数 a 0b 1c 2d 3 a 4b 3c 2d 1 答案 1 b 2 a 判断函数零点个数的常用方法 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理法 利用定理不仅要判断函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点 3 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 先画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的个数 就是函数零点的个数 答案 d 例3 2011 辽宁高考改编 已知函数f x ex x a有零点 则a的取值范围是 自主解答 f x ex x a f x ex 1 令f x 0 得x 0 当x0时 f x 0 函数f x 在 0 上是增函数 故f x min f 0 1 a 若函数f x 有零点 则f x min 0 即1 a 0 得a 1 答案 1 函数零点的应用 若函数变为f x lnx 2x a 其他条件不变 求a的取值范围 已知函数有零点 方程有根 求参数取值常用的方法 1 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后数形结合求解 3 已知函数f x 满足f x 1 f x 1 且f x 是偶函数 当x 0 1 时 f x x 若在区间 1 3 上函数g x f x kx k有4个零点 则实数k的取值范围是 函数零点问题主要有四类 一是判断函数零点或方程根的个数 二是利用函数零点确定函数解析式 三是确定函数零点或方程根的取值范围 四是利用函数零点或根的个数求解参数的取值范围 解决这些问题主要用数形结合法 1 函数零点个数的判断函数零点的个数即为方程f x 0根的个数 可转化为函数f x 的图象与x轴交点的个数进行判断 也可转化为两个函数图象的交点个数 如例2 1 2 利用函数零点求解函数解析式由函数的零点利用待定系数法求函数的解析式 求解时要结合函数的图象 解析 由图象可知 函数图象与x轴交于三点 1 0 0 0 2 0 故该函数有三个零点 1 0 2 由f 0 0 得d 0 故函数解析式可化为f x x3 bx2 cx x x2 bx c 显然 1 2为方程x2 bx c 0的两根 答案 d 3 零点取值范围的确定函数零点的取值范围 即为方程f x 0的根的取值范围 主要利用零点存在性定理解决 可结合函数的图象和性质 根据图象上的一些特殊点灵活处理 如本节例1 4 由零点个数确定参数的取值范围根据函数零点的个数确定函数解析式中参数的取值范围 主要利用数形结合的方法 根据函数的极值与区间的端点值构造参数所满足的不等式 通过解不等式求解其取值范围 典例2 已知函数f x x3 3x2 9x 3 若函数g x f x m在x 2 5 上有3个零点 则m的取值范围为 a 24 8 b 24 1 c 1 8 d 1 8 答案 d 题后悟道 解决此类问题主要依据函数图象的特征 利用区间端点处的函数值 函数的极值等构造关于参数的不等式 注意函数在区间的端点值对参数取值范围的影响 如该题中f 2 与f 5 这两个端点值决定着方程g x f x m在x 2 5 上的零点个数 若m 8或 248或m 24时 则该方程没有实根 总之 解决函数零点的有关问题主要利用数形结合的数学思想 利用导数研究函数的有关性质 主要包括函数的单调性与极值以及函数在区间端点处的函数值 然后画出函数图象 结合函数图象的特征判断 求解 1 2012 湖北高考 函数f x xcosx2在区间 0 4 上的零点个数为 a 4b 5c 6d 7 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 c 2 对于定义域为d的函数f x 若存在区间m a b d a b 使得 y y f x x m m 则称区间m为函数f x 的 等值区间 给出下列四个函数 f x 2x f x x3 f x sinx f x log2x 1 则存在 等值区间 的函数是 把正确的序号都填上 解析 问题等价于方程f x x在函数的定义域内是否存在至少两个不相等的实根 由于2x x 故函数f x 2x不存在等值区间 由于x3