高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第七章 第二节 空间图形的基本关系与公理课件 文.ppt

第二节空间图形的基本关系与公理 1 空间中点与直线 点与平面的位置关系 1 空间点与直线的位置关系有两种 和 2 空间点与平面的位置关系有两种 和 点在直线上 点在直线 外 点在平面内 点在平面 外 2 空间中线与线 线与面及面与面之间的位置关系 a b a 0 0 0 1 1 无数 3 空间图形的公理及等角定理 两 点 所有的 点 在平面内 l 有且只有 有且只有 有一个公共点 有且只有 平行 l且 a l a c b o 4 异面直线所成的角 1 定义 过空间任意一点p分别引两条异面直线a b的平行线l1 l2 这两条相交直线所成的 就是异面直线a b所成的角 如果两条异面直线所成的角是 则称这两条直线互相垂直 2 范围 锐角 或直角 直角 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果两个不重合的平面 有一条公共直线a 就说平面 相交 并记作 a 2 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于过a点的任意一条直线 3 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于a点 并记作 a 4 两个平面abc与dbc相交于线段bc 5 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 解析 根据平面的性质公理3可知 1 对 对于 2 其错误在于 任意 二字上 对于 3 错误在于 a上 对于 4 应为平面abc和平面dbc相交于直线bc 命题 5 中没有说清三个点是否共线 5 不正确 答案 1 2 3 4 5 1 有以下命题 若平面 与平面 相交 则它们只有有限个公共点 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 经过两条相交直线有且只有一个平面 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 其中 真命题的个数是 a 4 b 3 c 2 d 1 解析 选b 若平面 与平面 相交 则它们有无数个公共点 结合公理可知 均正确 2 若三条不同的直线a b c满足a b a c异面 则b与c a 一定是异面直线 b 一定是相交直线 c 不可能是平行直线 d 不可能是相交直线 解析 选c a b a c异面 b与c相交或异面 3 下列命题 两条直线都和同一个平面平行 则这两条直线平行 两条直线不异面 则这两条直线相交 分别在两个平面内的直线是异面直线 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点 则这条直线和这个平面平行 其中正确命题的个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选a 两条直线都和同一个平面平行 则这两条直线平行 相交或异面 故 错误 两条直线不异面 则相交或平行 故 错误 不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线 故 错误 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点 则这条直线和这个平面平行 相交或直线在平面内 故 错误 4 l1 l2 l3是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 a l1 l2 l2 l3 l1 l3 b l1 l2 l2 l3 l1 l3 c l1 l2 l2 l3 l1 l2 l3共面 d l1 l2 l3共点 l1 l2 l3共面 解析 选b 对于a 空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行 如图 l1 l3可以相交或异面 故命题错误 对于b 由异面直线所成的角可知 l2 l3 则l1与l3所成的角与l1与l2所成的角相等 故l1 l3 故命题正确 对于c 空间中三条互相平行的直线不一定共面 如三棱柱的三条侧棱不共面 故命题错误 对于d 空间中共点的三条直线不一定共面 如三棱锥中共顶点的三条棱所在直线不共面 5 下列命题中不正确的是 填序号 没有公共点的两条直线是异面直线 分别和两条异面直线都相交的两直线异面 一条直线和两条异面直线中的一条平行 则它和另一条直线不可能平行 一条直线和两条异面直线都相交 则它们可以确定两个平面 解析 没有公共点的两直线平行或异面 故 错 命题 错 此时两直线有可能相交 命题 正确 因为若直线a和b异面 c a 则c与b不可能平行 用反证法证明如下 若c b 又c a 则a b 这与a b异面矛盾 故c与b不可能平行 命题 也正确 若c与两异面直线a b都相交 由公理3可知 a c可确定一个平面 b c也可确定一个平面 这样a b c共确定两个平面 答案 考向1平面的基本性质及其应用 典例1 1 给出以下命题 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则点a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 正确命题的个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 2 如图 平面abef 平面abcd 四边形abef与abcd都是直角梯形 bad fab 90 bc ad且bc ad be af且be af g h分别为fa fd的中点 证明 四边形bchg是平行四边形 c d f e四点是否共面 为什么 思路点拨 1 根据相应的公理及推论进行判断 2 证明bc gh平行且相等即可 证明ef ch 由此构成平面 再证点d在该平面上 规范解答 1 选b 假设其中有三点共线 则该直线和直线外的另一点确定一个平面 这与四点不共面矛盾 故其中任意三点不共线 所以 正确 从条件看出两平面有三个公共点a b c 但是若a b c共线 则结论不正确 对于 b与c可能异面 不正确 不正确 因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上 如空间四边形 2 由题设知 fg ga fh hd 所以gh ad且gh ad 又bc ad且bc ad 故gh bc且gh bc 所以四边形bchg是平行四边形 c d f e四点共面 理由如下 由be af且be af g是fa的中点知 be gf且be gf 所以四边形efgb是平行四边形 所以ef bg 由 知bg ch 所以ef ch 故ec fh共面 又点d在直线fh上 所以c d f e四点共面 互动探究 本例第 2 题的条件不变 如何证明 fe ab dc交于一点 证明 由例题可知 四边形ebgf和四边形bchg都是平行四边形 故可得四边形echf为平行四边形 ec hf 且ec df 四边形ecdf为梯形 fe dc交于一点 设fe dc m m fe fe平面bafe m 平面bafe 同理m 平面badc 又平面bafe 平面badc ba m ba fe ab dc交于一点 拓展提升 1 证明三点共线的两种方法 1 首先找出两个平面 然后证明这三点都是这两个平面的公共点 于是可得这三点都在交线上 即三点共线 2 选择其中两点确定一条直线 然后证明另一点也在这条直线上 从而得三点共线 2 证明三线共点的思路先证两条直线交于一点 再证明第三条直线经过这点 把问题化归到证明点在直线上的问题 通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的交线 变式备选 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是ab的中点 f是a1a的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 2 ce d1f da三线共点 证明 1 如图 连接a1b cd1 因为e是ab的中点 f是a1a的中点 则ef a1b 又在正方体abcd a1b1c1d1中 a1b d1c 所以ef d1c 故e c d1 f四点共面 2 由 1 知 ef d1c且ef d1c 故四边形ecd1f是梯形 两腰ce d1f相交 设其交点为p 则p ce 又ce 平面abcd 所以p 平面abcd 同理 p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 ad 所以p ad 所以ce d1f da三线共点 考向2空间中两直线的位置关系 典例2 1 2013 南昌模拟 在空间中有不共线的三条线段ab bc和cd 且 abc bcd 那么直线ab与cd的位置关系是 a ab cd b ab与cd异面 c ab与cd相交 d ab cd或ab与cd异面或ab与cd相交 2 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是a1b1 b1c1的中点 问 am和cn是否是异面直线 说明理由 d1b和cc1是否是异面直线 说明理由 思路点拨 1 可分线段ab bc cd共面和不共面两种情况讨论 2 由于mn ac 因此m n a c四点共面 故am与cn不异面 由图易判断d1b和cc1是异面直线 可用反证法证明 规范解答 1 选d 若三条线段共面 则直线ab与cd相交或平行 若三条线段不共面 则直线ab与cd是异面直线 故选d 2 不是异面直线 理由 连接mn a1c1 ac m n分别是a1b1 b1c1的中点 mn a1c1 又 a1ac1c a1acc1为平行四边形 a1c1 ac mn ac a m n c在同一平面内 故am和cn不是异面直线 是异面直线 理由 abcd a1b1c1d1是正方体 b c c1 d1不共面 假设d1b与cc1不是异面直线 则存在平面 使d1b 平面 cc1 平面 d1 b c c1 这与b c c1 d1不共面矛盾 假设不成立 即d1b和cc1是异面直线 拓展提升 判定空间直线位置关系的三种类型及方法 1 异面直线 可采用直接法或反证法 2 平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 3 垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 提醒 在空间两直线的三种位置关系中 验证异面直线及其所成角是考查的热点 变式训练 设a b c d是空间四个不同的点 在下列命题中 不正确的是 填序号 若ac与bd共面 则ad与bc共面 若ac与bd是异面直线 则ad与bc是异面直线 若ab ac db dc 则ad bc 若ab ac db dc 则ad bc 解析 对于 由于点a b c d共面 显然结论正确 对于 假设ad与bc共面 由 正确得ac与bd共面 这与题设矛盾 故假设不成立 从而结论正确 对于 如图 当ab ac db dc 使二面角a bc d的大小变化时 ad与bc不一定相等 故不正确 对于 如图 取bc的中点e 连接ae de 则由题设得bc ae bc de 根据线面垂直的判定定理得bc 平面ade 从而ad bc 答案 考向3异面直线所成的角 典例3 正方体abcd a1b1c1d1中 1 求ac与a1d所成角的大小 2 若e f分别为ab ad的中点 求a1c1与ef所成角的大小 思路点拨 1 平移a1d到b1c 找出ac与a1d所成的角 再计算 2 可将a1c1平移到ac 将ef平移到bd再求解 规范解答 1 如图所示 连接ab1 b1c 由abcd a1b1c1d1是正方体 易知a1d b1c 从而b1c与ac所成的锐角或直角就是ac与a1d所成的角 ab1 ac b1c b1ca 60 即ac与a1d所成的角为60 2 如图所示 连接ac bd 在正方体abcd a1b1c1d1中 ac bd ac a1c1 e f分别为ab ad的中点 ef bd ef ac ef a1c1 即a1c1与ef所成的角为90 拓展提升 1 找异面直线所成的角的三种方法 1 利用图中已有的平行线平移 2 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 3 补形平移 2 求异面直线所成角的三个步骤 1 作 通过作平行线 得到相交直线 2 证 证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角 3 算 通过解三角形 求出该角 变式训练 在三棱锥s acb中 sab sac acb 90 ac 2 bc sb 则sc与ab所成角的余弦值为 解析 如图 取bc的中点e 分别在平面abc内作de ab 在平面sbc内作ef sc 则异面直线sc与ab所成的角为 fed 或其补角 过f作fg ab 连接dg df 则 dfg为直角三角形 由题知ac 2 bc sb 可得de ef 2 df 在 def中 由余弦定理可得答案 满分指导 求异面直线所成角主观题的规范解答 典例 12分 2012 上海高考 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa 底面abcd e是pc的中点 已知ab 2 ad pa 2 求 1 三角形pcd的面积 2 异面直线bc与ae所成的角的大小 思路点拨 规范解答 1 因为pa 底面abcd 所以pa cd 又ad cd 所以cd 平面pad 从而cd pd 3分因为cd 2 所以三角形pcd的面积为 6分 2 取pb的中点f 连接ef af 则ef bc 从而 aef 或其补角 是异面直线bc与ae所成的角 8分在 aef中 由ef af ae 2知 aef是等腰直角三角形 所以 aef 因此 异面直线bc与ae所成的角的大小是 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 池州模拟 如图是某个正方体的侧面展开图 l1 l2是两条侧面对角线 则在正方体中 l1与l2 a 互相平行 b 异面且互相垂直 c 异面且夹角为 d 相交且夹角为 解析 选d 将侧面展开图还原成正方体如图所示 则b c两点重合 故l1与l2相交 连接ad abd为正三角形 所以l1与l2的夹角为故选d 2 2013 西安模拟 如图是正方体或四面体 p q r s分别是所在棱的中点 这四个点不共面的一个图是 解析 选d 在a图中分别连接ps qr 易证ps qr p s r q共面 在b图中过p q r s可作一正六边形 如图 故p q r s四点共面 在c图中分别连接pq rs 易证pq rs p q r s共面 d图中ps与rq为异面直线 p q r s四点不共面 故选d 3 2012 浙江高考 已知矩形abcd ab 1 bc 将 abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折 在翻折过程中 a 存在某个位置 使得直线ac与直线bd垂直 b 存在某个位置 使得直线ab与直线cd垂直 c 存在某个位置 使得直线ad与直线bc垂直 d 对任意位置 三对直线 ac与bd ab与cd ad与bc 均不垂直 解析 选b 找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量 对于选项a 过点a作ae bd 垂足为e 过点c作cf bd 垂足为f 在图 1 中 由边ab bc不相等可知点e f不重合 在图 2 中 连接ce 若直线ac与直线bd垂直 又 ac ae a bd 平面ace bd ce 与点e f不重合相矛盾 故a错误 对于选项b 若ab cd 又 ab ad ad cd d ab 平面adc ab ac 由abab 不存在这样的直角三角形 c错误 由上可知d错误 故选b 4 2013 宝鸡模拟 给出命题 异面直线是指空间既不平行又不相交的直线 两异面直线a b 如果a平行于平面 那么b不平行于平面 两异面直线a b 如果a 平面 那么b不垂直于平面 两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 上述命题中 真命题的序号是 解析 易知 正确 两条异面直线可以平行于同一个平面 若b 则a b 这与a b为异面直线矛盾 两条异面直线在同一个面内的射影可以是 两条平行直线 两条相