【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（基础过关+能力训练）第八章 立体几何初步第6课时 空间向量在立体几何中的应用课时训练(1).doc

第八章立体几何初步第6课时空间向量在立体几何中的应用(理科专用)1. 设平面的法向量为(1，2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k_答案：4解析：(2，4，k)(1，2，2)， 2，k4.2. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角为_答案：30解析：设l与所成角为，则sin|cos120|. 又090， 30.3. 在正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是ab、cc1的中点，则异面直线a1c与ef所成角的余弦值为_答案：解析：建立空间直角坐标系，求出异面直线a1c与ef所成角的余弦值为.4. 已知a(x，4，1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，则(ac)与(bc)所成角的余弦值为_答案：解析：因为ab，所以，解得x2，y4，这时a(2，4，1)，b(2，4，1)因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2，2)所以ac(5，2，3)，bc(1，6，1)，设(ac)与(bc)所成角为，因此cos.5. 已知长方体abcd-a1b1c1d1中，abbc4，cc12，则直线bc1和平面dbb1d1所成角的正弦值为_答案：解析：如图建立空间直角坐标系，则b(4，0，0)，c(4，4，0)，c1(4，4，2)，显然ac平面bb1d1d， (4，4，0)为平面bb1d1d的一个法向量又(0，4，2)， cos，.即bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为.6. 已知空间三点a(2，0，2)，b(1，1，2)，c(3，0，4)，设a，b.若向量kab与ka2b互相垂直，则k_答案：或2解析：a(12, 10，22)(1，1，0)，b(32，00，42)(1，0，2)kab(k，k，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k，k，0)(2，0，4)(k2，k，4) (kab)(ka2b)， (k1，k，2)(k2, k，4)(k1)(k2)k280，即2k2k100， k或k2.7. 在正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角是_答案：30解析：如图，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a，0，0)，b(0，a，0)，c(a，0，0)，p，则(2a，0，0)，(a，a，0)，设平面pac的法向量为n，可求得n(0，1，1)，则cos，n， ，n60， 直线bc与平面pac所成的角为906030.8. 在正方体abcd-a1b1c1d1中，m是棱dd1的中点，点o为底面abcd的中心，p为棱a1b1上任一点，则异面直线op与am所成的角的大小为_答案：解析：以d为原点，、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设|1，则a(1，0，0)，m，o，p(1，y，1)，则， 0， opam.9. (2014南京期初调研)在底面边长为2，高为1的正四棱柱abcda1b1c1d1中，e、f分别为bc、c1d1的中点(1) 求异面直线a1e、cf所成的角；(2) 求平面a1ef与平面add1a1所成锐二面角的余弦值解：(1)以，为基底，建立空间直角坐标系dxyz，则d(0，0，0)，c(0，2，0)，a1(2，0，1)，e(1，2，0)，f(0，1，1)，可得(0，1，1)，(1，2，1)，所以cos，故异面直线a1e、cf所成的角为.(2)(2，1，0)，设向量n(x，y，z)为平面a1ef的法向量，则即取n(1，2，3). 由于正四棱柱abcda1b1c1d1中，dc平面add1a1，所以(0，2，0)为平面add1a1的法向量又cosn，所以平面a1ef与平面add1a1所成锐二面角的余弦值为. 10. (2013天津卷) 如图所示，四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱a1a底面abcd，abdc，abad，adcd1，aa1ab2，e为棱aa1的中点(1) 证明：b1c1ce；(2) 求二面角b1cec1的正弦值；(3) 设点m在线段c1e上，且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为.求线段am的长(1) 证明：如图，以点a为原点建立空间直角坐标系，依题意得a(0，0，0)，b(0，0，2)，c(1，0，1)，b1(0，2，2)，c1(1，2，1)，e(0，1，0)易得(1，0，1)，(1，1，1)，于是0，所以b1c1ce.(2) 解：(1，2，1)，设平面b1ce的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2，1)由(1)，b1c1ce，又cc1b1c1，可得b1c1平面cec1，故(1，0，1)为平面cec1的一个法向量于是cosm，从而sinm，.所以二面角b1cec1的正弦值为.(3) 解：(0，1，0)，(1，1，1)设(，)，01，有(，1，)可取(0，0，2)为平面add1a1的一个法向量设为直线am与平面add1a1所成的角，则sin |cos，|.于是，解得(负值舍去)，所以am.11. 如图，矩形abcd和直角梯形befc所在平面互相垂直，bcf90，becf，ceef，ad，ef2.(1) 求异面直线ad与ef所成的角；(2) 当ab的长为何值时，二面角aefc的大小为45？解：如图，以点c为坐标原点，以cb、cf和cd分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系cxyz. 设aba，beb，cfc，bc，则c(0，0，0)，a(，0，a)，b(，0，0)，e(，b，0)，f(0，c，0)，d(0，0，a)(1) (，0，0)，(，0，0)，(，bc，0)由|2，得3(bc)24，所以bc1. 所以(，1，0)所