高考数学总复习 第十三篇 算法初步、推理与证明、复数 第4讲 数学归纳法课件 理.ppt

2014年高考浙江会这样考 1 数学归纳法的原理及其步骤 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 2 数学归纳法可能会与数列 不等式等内容相结合考查 与数列相结合的题目 一般会采取 归纳 猜想 证明 的命题思路 以解答题的形式出现 难度较大 为中高档题 第4讲数学归纳法 考点梳理1 归纳法由一系列有限的特殊事例得出的推理方法 通常叫做归纳法 根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法 一般结论 2 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n0 n0 n 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当n 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 k 1 助学 微博 一种表示数学归纳法的框图表示 两个防范数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法 第一步是递推的 基础 第二步是递推的 依据 两个步骤缺一不可 在证明过程中要防范以下两点 1 第一步验证n n0时 n0不一定为1 要根据题目要求选择合适的起始值 2 第二步中 归纳假设起着 已知条件 的作用 在证明n k 1时 命题也成立的过程中一定要用到它 否则就不是数学归纳法 第二步关键是 一凑假设 二凑结论 解析边数最少的凸n边形是三角形 答案c 2 某个命题与自然数n有关 若n k k n 时命题成立 那么可推得当n k 1时该命题也成立 现已知n 5时 该命题不成立 那么可以推得 a n 6时该命题不成立b n 6时该命题成立c n 4时该命题不成立d n 4时该命题成立解析其逆否命题 若当n k 1时该命题不成立 则当n k时也不成立 为真 故 n 5时不成立 n 4时不成立 答案c 3 用数学归纳法证明1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 从n k到n k 1 左边需增添的代数式是 a 2k 2b 2k 3c 2k 1d 2k 2 2k 3 解析当n k时 左边是共有2k 1个连续自然数相加 即1 2 3 2k 1 所以当n k 1时 左边是共有2k 3个连续自然数相加 即1 2 3 2k 1 2k 2 2k 3 答案d 答案c 审题视点 根据数学归纳法的步骤证明 方法锦囊 1 用数学归纳法证明等式其关键点在于弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是几 2 由n k到n k 1时 除等式两边变化的项外还要充分利用n k时的式子 即充分利用假设 正确写出归纳证明的步骤 从而使问题得以证明 审题视点 本题用数学归纳法证明不等式 在推理过程中用放缩法 要注意放缩的 度 方法锦囊 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法等证明 解 f x x2 1 an 1 f an 1 an 1 an 1 2 1 函数g x x 1 2 1 x2 2x在区间 1 上单调递增 于是由a1 1 得a2 a1 1 2 1 22 1 进而得a3 a2 1 2 1 24 1 23 1 由此猜想 an 2n 1 下面用数学归纳法证明这个猜想 方法锦囊 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 规范解答21数学归纳法的应用 命题研究 用数学归纳法证明与自然数n有关的不等式问题时 常以数列与不等式的综合为主线 同时考查数列递推关系 不等式证明 不等式性质等 在证明时 比较法 放缩法 分析法 反证法等证明不等式的方法在此都可使用 有时还要考虑与原不等式等价的命题 真题探究 本小题满分12分 2012 大纲全国卷改编 函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过两点p 4 5 qn xn f xn 的直线pqn与x轴交点的横坐标 1 证明 2 xn xn 1 3 2 设bn xn 3 求数列 bn 的通项公式 阅卷老师手记 本题考查了数列的通项公式 研