高考数学一轮总复习 第十二篇 第2讲 直接证明与间接证明课件 理 湘教版.ppt

第2讲直接证明与间接证明 2014年高考会这样考 考查直接证明为主 多隐含于各种题目中 如数列 不等式 立体几何等 考点梳理 1 直接证明 已知 逻辑推理 待证 需求 待证 需求 已知条件 2 间接证明 否定 已知事实相矛盾 不成立 不成立 反面 反设 已知条件 已知公理 定义 定理 反设 反设 一个思路分析法与综合法相辅相成 对较复杂的问题 常常先从结论进行分析 寻求结论与条件 基础知识之间的关系 找到解决问题的思路 再运用综合法证明 或者在证明时将两种方法交叉使用 助学 微博 两点提醒 1 适合使用反证法证明的命题有 否定性命题 唯一性命题 至多 至少型命题 明显成立命题 直接证明有困难的命题 2 用分析法证明数学问题时 要注意书写格式的规范性 常常用 要证 欲证 即要证 就要证 等分析到一个明显成立的结论p 再说明所要证明的数学问题成立 a 综合法b 分析法c 特殊值法d 其他方法答案b 考点自测 2 2013 华师附中一模 用反证法证明命题 三角形三内角至少有一个不大于60 时 应假设 a 三个内角都不大于60 b 三个内角都大于60 c 三个内角至多有一个大于60 d 三个内角至多有两个大于60 解析 至少有一个不大于 的否定是 都大于 答案b 3 设a b r 若a b 0 则下列不等式中正确的是 a b a 0b a3 b3 0c a2 b2 0d b a 0解析 a b 0 b a a 0 a b a b a 0 答案d 4 2012 江西 下列命题中 假命题为 a 存在四边相等的四边形不是正方形b z1 z2 c z1 z2为实数的充分必要条件是z1 z2互为共轭复数c 若x y r 且x y 2 则x y至少有一个大于1 答案b 答案3 审题视点 采用分析法 移项 平方 整理 考向一分析法的应用 分析法的特点和思路是 执果索因 即从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 或本身已经成立的定理 性质或已经证明成立的结论等 通常采用 欲证 只需证 已知 的格式 在表达中要注意叙述形式的规范 1 求数列 an 的通项公式 2 证明 对于一切正整数n 2an bn 1 1 审题视点 1 把题中所给的已知式等价变形为cn cn 1 形式 转化成特殊数列求解 2 利用基本不等式证明 考向二综合法与分析法的综合应用 综合法与分析法各有特点 在解决实际问题时 常把分析法与综合法综合起来运用 通常用分析法分析 综合法书写 这一点在立体几何中应用最为明显 同时 在数列三角 解析几何中也大多是利用分析法分析 用综合法证明的办法来证明相关问题 训练2 已知函数f x log2 x 2 a b c是两两不相等的正数 且a b c成等比数列 试判断f a f c 与2f b 的大小关系 并证明你的结论 1 证明 函数f x 在 1 上为增函数 2 用反证法证明f x 0没有负根 审题视点 第 1 问用单调增函数的定义证明 第 2 问假设存在x0 0后 应推导出x0的范围与x0 0矛盾即可 考向三反证法的应用 证明 1 任取x1 x2 1 不妨设x1 x2 则x2 x1 0 ax2 x1 1 且ax1 0 所以ax2 ax1 ax1 ax2 x1 1 0 又因为x1 1 0 x2 1 0 用反证法证明不等式要把握三点 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 2 必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须依据这一条件进行推证 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与已知事实矛盾等 但是推导出的矛盾必须是明显的 命题研究 通过近三年的高考试题分析 直接在此知识点命题的概率不大 但作为证明和推理数学命题的方法 多隐含于各种题目中 此类证明题对知识的考查面广 涉及知识点多 题目难度较大 真题探究 本小题满分13分 2011 安徽 设直线l1 y k1x 1 l2 y k2x 1 其中实数k1 k2满足k1k2 2 0 1 证明 l1与l2相交 2 证明 l1与l2的交点在椭圆2x2 y2 1上 规范解答18 利用反证法证明数学问题 教你审题 一审采用反证法 先假设l1与l2不相交 之后推出矛盾 二审求出交点坐标 代入椭圆方程验证 阅卷老师手记 1 掌握反证法的证明思路及证题步骤 明确作假设是反证法的基础 应用假设是反证法的基本手段 得到矛盾是反证法的目的 2 当证明的结论和条件联系不明显 直接证明不清晰或正面证明分类较多 而反面情况只有一种或较少时 常采用反证法 用反证法证明数学命题的答题模板 第一步 分清命题 p q 的条件和结论 第二步 作出与命题结论q相矛盾的假定綈q 第三步 由p和綈q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因 在于开始所作的假设綈q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题p q为真 试一试 已知a b c是互不相等的非零实数 用反证法证明三个方程ax2 2bx c 0 bx2 2cx a 0 cx2 2ax b 0至少有一个方程有两个相异实根 证明假设三个方程都没有两个相异实根 则 1 4b2 4ac 0 2 4c2 4ab 0 3 4a2 4bc 0 上述三个式子相加并除以2得 a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ac