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专题研究三定值 定点与存在性问题 例1 2013 陕西 已知动圆过定点a 4 0 且在y轴上截得弦mn的长为8 1 求动圆圆心的轨迹c的方程 2 已知点b 1 0 设不垂直于x轴的直线l与轨迹c交于不同的两点p q 若x轴是 pbq的角平分线 证明直线l过定点 题型一定点 定值问题 解析 1 如图 设动圆圆心o1 x y 由题意 o1a o1m 2 由题意 设直线l的方程为y kx b k 0 p x1 y1 q x2 y2 即y1 x2 1 y2 x1 1 0 kx1 b x2 1 kx2 b x1 1 0 2kx1x2 b k x1 x2 2b 0 将 代入 得2kb2 k b 8 2bk 2k2b 0 k b 此时 0 直线l的方程为y k x 1 即直线l过定点 1 0 答案 1 y2 8x 2 恒过定点 1 0 探究1定值 定点问题是指曲线变化或参数值变化时 某一个量不变或某一个点不变 解决的方法都是用参数把有关量表示出来 进行化简变形得出要求的定值 这类问题考查的是代数运算能力 2015 山东淄博期末 已知动圆c与圆c1 x 1 2 y2 1相外切 与圆c2 x 1 2 y2 9相内切 设动圆圆心c的轨迹为t 且轨迹t与x轴右半轴的交点为a 1 求轨迹t的方程 2 已知直线l y kx m与轨迹t相交于m n两点 m n不在x轴上 若以mn为直径的圆过点a 求证 直线l过定点 并求出该定点的坐标 思考题1 2014 江西文 如图 已知抛物线c x2 4y 过点m 0 2 任作一直线与c相交于a b两点 过点b作y轴的平行线与直线ao相交于点d o为坐标原点 思考题2 1 证明 动点d在定直线上 2 作c的任意一条切线l 不含x轴 与直线y 2相交于点n1 与 1 中的定直线相交于点n2 证明 mn2 2 mn1 2为定值 并求此定值 题型二存在性问题 1 求双曲线e的离心率 2 如图 o为坐标原点 动直线l分别交直线l1 l2于a b两点 a b分别在第一 四象限 且 oab的面积恒为8 试探究 是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线e 若存在 求出双曲线e的方程 若不存在 说明理由 已知椭圆c1 抛物线c2的焦点均
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