高考数学一轮复习 4.1 三角函数、同角三角函数与诱导公式课件 文 新人教A版.ppt

4 1三角函数 同角三角函数与诱导公式 一 利用单位圆定义任意角的三角函数 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点p x y 那么sin y cos x tan 在 的终边上任取一点p a b 它与原点的距离r 0 过 p作x轴的垂线 垂足为m 则sin cos tan 二 同角三角函数关系式 sin2 cos2 1 tan 同角三角函数的基本关系式的主要应用是 已知一个角的三角函数值 求此角的其他三角函数值 在运用平方关系解题时 要根据已知角的范围和三角函数的取值 尽可能地压缩角 的范围 以便进行定号 在具体求三角函数值时 一般不需用同角三角函数的基本关系式 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号 再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值 三 常用关系式 1 当x 0 时 有sinx x tanx 2 sin x cos x cos x 3 sin cos sin cos sin cos 三式之间可以互相表示 设sin cos t 两边平方 得1 2sin cos t2 sin cos 设sin cos t 同理有1 2sin cos t2 sin cos 四 三角函数诱导公式 奇变偶不变 对k而言 指k取奇数或偶数 符号看象限 看原函数 同时可把 看成是锐角 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值 其一般步骤 1 负角变正角 再写成2k 0 2 2 转化为锐角三角函数 叫做角 的正弦线 余弦线 正切线 统称为三角函数线 五 三角函数线 如图 我们把三条与单位圆有关的有向线段mp om at分别 1 下列三角函数值为负值的是 a tan2013 b sin c cos 450 d sin 解析 tan2013 tan 180 11 33 tan33 0 sin sin 0 cos 450 cos 90 0 sin sin 0 答案 d 2 已知角 的终边上一点 1 3 则10sin 的值为 a 1 b 1 c 1 d 0 解析 sin 10sin 3 3 0 答案 d 3 设tan 则的值是 a 4 b 6 c 5 d 解析 tan 于是 5 答案 c 题型1三角函数定义的应用 例1 1 已知角 的终边经过点p 4 3 则2sin cos 2 已知角 的终边经过点p 4a 3a a 0 则2sin cos 3 已知角 终边上一点p与x轴的距离和与y轴的距离之比为3 4 则2sin cos 求解即可 第 2 问要对a进行分类讨论 第 3 问要对角 所在象限进行分类讨论 解析 1 sin cos 2sin cos 2 a 0 2sin cos a 0 2sin cos 3 当 为第一象限角时 2sin cos 2 当 为第二象限角时 2sin cos 分析 这三问 依次递进 第 1 问只需根据三角函数定义 当 为第三象限角时 2sin cos 2 当 为第四象限角时 2sin cos 答案 1 2 或 3 或 2 点评 此题涉及分类讨论的数学思想方法 应试者应具有分类意识与分类讨论的数学能力 当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时 要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论 变式训练1 1 角 的终边上的点p与点a 1 1 关于x轴对称 则sin 2 角 的终边上的点q与点b 0 1 关于直线y x对称 则cos 3 角 的终边上的点r与点c 1 1 关于原点对称 则tan 解析 1 p 1 1 sin 2 q 1 0 cos 1 3 r 1 1 tan 1 答案 1 2 1 3 1 题型2同角三角函数关系的应用 例2已知0 若cos sin 试求的值 分析 利用 cos sin 这一特征 再联想平方关系式 解题突破口就是求解关于 cos sin 的方程组 2sin cos sin cos 2 1 2sin cos 1 0 sin cos 与cos sin 联立解得 cos sin 解析 cos sin 1 2sin cos 点评 此题涉及方程与消元思想 应试者必须具有熟练的数学运算能力 由于角已经限制 三角函数值的符号判断要容易得多 变式训练2若 cos 求sin 的值 解析 cos2 sin 0 即sin2 sin 1 0 sin 又 sin 1 sin 题型3三角恒等式的证明 例3求证 分析 证明此恒等式可采取常用方法 也可以运用分析法 即 要证 只需证a d b c 从而将分式化为整式 解析 法一 右边 左边 法二 要证等式 即证 只需证2 1 sin 1 cos 1 sin cos 2 即证2 2sin 2cos 2sin cos 1 sin2 cos2 2sin 2cos 2sin cos 即证1 sin2 cos2 该式显然成立 故原式得证 点评 证明恒等式的过程就是分析 转化 消去等式两边的差异来促成统一的过程 证明时常用的方法有 1 从一 边开始 证明它等于另一边 2 证明左 右两边等于同一个式子 3 证明与原式等价的另一个式子成立 从而推出原式成立 即分析法 特别要注意分析法证明的格式 要证 即证 即 变式训练3求证 解析 法一 由题意知cosx 0 1 sinx 0 1 sinx 0 左边 右边 原式成立 又 1 sinx 1 sinx 1 sin2x cos2x cosx cosx 法二 由题意知cosx 0 1 sinx 0 1 sinx 0 0 法三 由题意知cosx 0 1 sinx 0 1 sinx 0 例4是否存在 且 0 使等式sin 3 cos cos cos 同时成立 若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由 分析 本题属于探索性问题 应将 满足的关系当做条件 构造出关于 的方程 从而求出 的值即可 题型4同角三角函数及诱导公式的综合应用 两式平方后相加得sin2 3cos2 2 cos2 把 代入cos cos 得cos 又 0 符合sin sin 把 代入cos cos 得cos 解析 由条件得 又 0 不符合sin sin 存在 满足条件 点评 1 本题是以三角函数为载体考查解含有参数的探索性问题 探索性问题的求解方法 一般总是先假设存在 在此前提下进行推理 或者证明其存在 或者得出矛盾的结果而否定假设 2 本题解答过程体现了构造法 三角消元技巧 方程思想 等 在三角变换中要注意公式的变形使用 如 1 的妙用 1 sin2 cos2 变式训练4已知关于x的方程4x2 2 m 1 x m 0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦值 求实数m的值 解析 设直角三角形的两个锐角分别为 可得 cos sin 方程4x2 2 m 1 x m 0中 4 m 1 2 4 4 m 4 m 1 2 0 m r 方程恒有两实根 又 cos cos sin cos cos cos sin cos 由以上两式及sin2 cos2 1 得1 2 2 解得m 当m 时 cos cos 0 cos cos 0 满足题意 当m 时 cos cos 0 这与 是锐角矛盾 应舍去 综上 m 任意角的三角函数的定义 同角间的三角函数基本关系 诱导公式是任意角的三角函数的基础 因而要注意如下几点 1 熟练地掌握常用的方法与技巧 在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制 2 要注意差异分析 又要活用公式 要善于瞄准解题目标进行有效的变形 其解题一般思维模式为 发现差异 寻找联系 合理转化 3 运用同角三角函数关系式化简 证明 常用的变形措施有 大角化小 应用 弦化切 的技巧 即分子 分母同除以一个 不为零的cos 得到一个只含tan 的三角函数 例若a 0 且sina cosa 则 错解 或 剖析 直接由sina cosa 及sin2a cos2a 1求出sina cosa的值 求得两解 忽略隐含限制 a 0 出错 正解 由 或 由a 0 知应舍去 即 故 答案 解析 cos750 cos 2 360 30 cos30 答案 c 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 cos750 等于 a b c d 2 基础再现 已知角 的终边经过点p 4 3 则sin cos 等于 a b c d 解析 sin cos sin cos 答案 d 3 视角拓展 已知sin cos 则角2 所在的象限是 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 法二 由sin cos 易得sin2 cos2 角2 所在的象限是第二象限 故选b 答案 b 解析 法一 由sin cos 知2k 2k 4k 2 4k k z 角2 所在的象限是第二象限 故选b 4 高度提升 已知cos 且 则tan 等于 a b c d 解析 由cos 得sin 又 cos tan 故选c 答案 c 5 能力综合 已知 abc中 则sinacosa等于 a b c d 解析 tana 且cosa 0 sinacosa 答案 a 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 6 视角拓展 已知角 终边上一点的坐标为 sin cos 则角 的最小正值为 解析 由sin 0 cos 0知角 终边在第四象限 又tan 2 答案 7 视角拓展 若sin cos 是第二象限的角 则tan 解析 由sin cos sin2 cos2 1 可得sin cos 解得sin cos tan 答案 8 高度提升 设 0 2 点p sin cos2 在第三象限 则角 的范围是 解析 cos2 0 2k 2 2k 即k k 又sin 0 答案 9 高度提升 已知tanx 2 则1 3sin2x 解析 1 3sin2x 答案 10 基础再现 已知sin 3 求 的值 解析 sin 3 sin sin 原式 32 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 11 视角拓展 已知关于x的方程2x2 1 x m 0的两根分别为sin cos 0 2 求 1 的值 2 m的值 3 方程的两根及此时 的值 原式 sin cos 解析 1 由根与系数的关系 得 2 由 平方得 1 2sin cos sin cos 即 得m m 满足 故m 3 当2x2 1 x 0 解得x