数学哲学、关联预测——2012上海高考试卷分析之趋势.doc

数学哲学 关联预测 上海市2012年高考题的分析和反思 一、导引数学，是理解世界、解释世界、探索世界的工具。数学理论的渊源是哲学，每一种数学理论都是某种哲学的具体体现。譬如说，正数代表了物质世界，函数代表了变量之间的对应关系，研究函数就是研究宇宙世界的运动、变化和发展规律。负数代表了映像世界，而复数呢？代表了物质世界和精神世界的融合。数学的发展远远的走在其他学科的前面，时至今日，一些最基本的数学概念都没有得到很好的诠释，譬如说负数、复数、无穷大、无穷小、无穷之无穷、n维空间（物理学里只研究到了四维空间）、无限维空间等等。笔者以为，学习数学哲学，是我们学习数学最重要的目的。只有理解了数学哲学，才能真正的理解数学的应用。只可惜，曲高从来和寡。上海的数学教学自08年开始启动教改，于是09年高考以教改方向所出高考题大大颠覆了传统教学课堂里的“题海战术、不求甚意”。只可惜，由于绝大部分高中数学的教学者（包括那些所谓的狗屎特级教师）的综合能力上的不足，适应不了这种改革，反对声一片，于是在10年又回到老路。可喜的是，在11年高考中，在压轴题里体现了“求同求异的数学研究的一般方法“，彻底否定了那种“弄几个变式，进行题海战术”的教学模式，重新以高考指导教改实践，详见笔者求同存异、关联研究。但对于另一个通病“不求甚意”一套理论对学生讲了几十年，在里面反复的瞎折腾，却不通其哲学内涵，不懂得“为什么要学”，却丝毫未曾触及。自然，就更加不明白笛卡尔“数学是哲学的诠释”并自认为“首先是一个哲学家、其次才是一个数学家”的慨叹。现在，2012年高考已经尘埃落定，那么，上海高考数学题的设计是否在去年的基础上进一步指导了教改的方向呢？或者说，试题设计有何新动向或特点呢？ 二、实例 让我们先看看实例分析：12 在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 评析：本题考察的是如何建立合适的坐标系和向量的坐标化，将几何问题代数化，这是笛卡儿解析几何数学哲学的具体体现。13 已知函数的图像是折线段，其中、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为 评析：本题考察的是面积计算的割补思想，将不规则图形通过某些手段规则化后求面积，这是欧几里德几何原理里古老的数学哲学。14如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，其中为常数，则四面体的体积的最大值是 评析：本题考察的是立体几何里体积的最值问题，我们可以将之和平面几何面积的最值问题类比关联，其数学哲学是空间立体问题平面化，其数学的研究方法是数学模型的类比关联及预测。我们知道，在周长一定的时候，三角形面积最大是等边三角形情形；固定一条边，则面积最大是等腰三角形情形。所以，我们有理由关联预测当且仅当时的情形时，四面体的体积的最大。取AD的中点O，则四面体ABCD的高为AD，底面三角形为OBC，而，故，从而 17设，随机变量取值、的概率均为0.2，随机变量取值、的概率也均为0.2，若记、分别为、的方差，则（ ）； ； 与大小关系与、的取值有关评析：本题考察的是期望一定的条件之下，对资源有效整合之后，方差的变化情况。其对应的是一般问题特殊化的数学研究方法和方差理论的数学哲学。 需要注意的是，对“一般问题特殊化”的肤浅理解是取特殊值化，就如笔者在指求同存异、关联研究里指出的“弄出一些变式、采取题海战术是对数学研究方法的肤浅理解”一样。 即，本题采取特殊值法解答，譬如取，然后用计算器去计算。请注意，计算量会很大！而且，由于本题有D选项，特殊值法无法验证其正确性，可能需要验证多个特殊值，很多学生会算不下去，或者算下去却耗费时间太多，还不能肯定答案，得不偿失。这是题目设计者对于用特殊值法者增加的障碍。一般问题特殊化的数学哲学的深化理解是什么呢？简化数学模型，得到一般规律。如何简化呢？考虑两个的情形，即取值，而取值，则很快得到，。所以，可以确定答案A正确。毫无疑问，这种简化模型的思维是数学研究的一般方法，所以，本题实际上是数学哲学和研究方法的结合。模型的一个复杂版本是设取，设取，则。当然，从方差的数学哲学内涵也可以很快得到一般结论。本质上，方差描述的是一组数据偏离平均值的幅度，现在二组数据的期望一样，但第二组数据先做了两个的平均，所以偏离幅度会下降。更一般，模型的一个更强的版本是，如果做三个的平均，偏离幅度会更低。譬如设取则有。18.设，（），在中，正数的个数是（ ）25； 50； 75； 100评析：本题考察的仍然是一般问题特殊化的数学哲学，相对应的数学研究方法是简化模型和配对法。先来看看模型的最简化版本，设，则变化过程为：，和函数，更别说100项了，故选D。再看看配对法，而。故和函数。再看看模型的变化版本：，结论不变；推广版本，结论不变。 相较于11年几乎只有最后一题体现了数学的研究方法，以上几例都是数学哲学和研究方法的体现，而数学哲学的体现，在最后一道压轴题里得到了最后的升华。 下面让我们来看看2012年23对于数集，其中，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质，例如具有性质（1）若，且具有性质，求的值；（2）若具有性质，求证：，且当时，；（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式分析：本题给出了一个新的数学定义性质P。这个定义本身没有任何意义，我们只看第三问。标准答案思维混乱，我们不看。由于，我们很自然的关联等比数列。，于是，先算算，看看有什么规律，即归纳、猜测、证明。这是数学研究的一般方法。设，由性质P定义，使得，则或，若，则，与题设矛盾。若，则 ，故j=2，从而。至此，我们可以猜测，下面用数学归纳法证明。而且，由于在猜测的过程中我们用到了i=1和2的历史资料，所以，我们需要用第二数学归纳法。假设当时，皆有，则当时，设，由性质P定义，使得，则或，若，则，与题设矛盾。若，则 ，故，从而。于是当时，。故对一切，有。由上面的证明过程可以看出：关联猜测k=3的证明和k=i+1的证明过程思路完全一致，这正是数学归纳法的特点。评点：本题既揭示了归纳、关联猜测、证明的数学研究的一般方法，又反映了事物前进发展有时候具有某种相似性的数学哲学。本题的标准答案和2009年那道函数题以及压轴题一样，语言组织思维混乱，教条主义者按照标准答案改卷，不知会有多少冤魂！这是设计试题者中文功底太差不知道如何用简洁的语言合适地传情达意的缘故，但从数学的角度看是设计非常好的一道题。 数学归纳法反映了事物发展前进规律的某种相似性，是最深刻的数学哲学之一。第一归纳法是简单的直线型发展，利用也只是当前的资料，但我们知道，事物前进发展不仅仅是直线型的，有时候可以倒退倒退是为了更好地发展，有时候可以跳跃，而且，当前的资料可以用，历史资料为何不能用？这就是倒推归纳法、二步归纳法、第二归纳法的哲学内涵。 三、反思笔者在去年的高考分析求同存异、关联研究里指出：“高考大题或压轴题有两个方向，从探索性上讲有和大学数学研究一般方法相结合的趋势，从知识点上讲有和大学数学相关知识点挂钩的趋势。”从前文的分析我们可以看出，今年除了数学研究的一般方法之外，又增添了对于数学哲学的理解！其中，数学研究的一般方法，体现了“大学数学重视理论框架结构的建立过程”的特点，而数学哲学，体现了“大学数学重视数学理论渊源”的特点。 那么，我们在数学的教学实践中，究竟要如何适应这种变化呢？笔者以为：其一，我们要努力提高自己的数学修养。我们要对每一种数学理论有很深刻的认识，弄清其产生的背景、建立的过程、思想渊源，思考其哲学含义以及如何应用理解现实世界中相对应的事物。这不是通过多做题就能解决的，一门课即便考满分也不能说明弄明白了其知识体系。我们常常迷失于数学的题海中，而忘却了数学的真面目。所以，我们建议要充实和丰富教研活动，可以请一些数学修养较高的老师做主持讲座，讨论一些最基本的数学思想和数学的理论框架结构，使教师的视野开阔，综合能力真正有所提高，而不是流于形式。譬如素数实际上是构成乘法的基本元（从因式分解的角度），每一种物质都可以通过正数和对应法则建立数学模型将之描述，集合论中为何要用三性去规范化，每一性又体现了什么，函数的最值思维体现意义，概率论的期望思维又体现什么哲学等等。其二，在教学过程中，我们要有意识地贯穿大学数学研究方法的一般方法，达到影响、改变学生的思维的目的。即，我们要对每一种数学理论的研究方法作比较，并关联知识点和知识结构，考察其异同，关注数学模型的简化版本和复杂版本之间的关联。譬如集合的运算和数的运算的关联异同，函数单调性、奇偶性的加减乘除法则和负数正数奇数偶数的运算异同，不同函数之间的研究方法的异同，数列和函数理论、极限理论的关联研究，线性代数和方程组、空间维度的关联研究，圆锥曲线、概率论和函数论研究对象的异同，极限理论和概率论共同的有限无限思维等等。其三，在教学过程中，我们要指导学生弄懂那些和大学相关知识点挂钩的教材拓展内容。正如笔者在教研例会近四年高考数列题分析中指出：“现在我们来看今年的春季招生试卷会有什么风向标？前面讲过，其试图和高等数学不规则数列极限、数值计算、迭代收敛建立联系，抛开内容，我们可以预测高考数学大题方向有和大学相关知识点挂钩的趋势。如此，高二教材第一学期课题一 数列极限在面积计算中的应用就很重要，它可以和大学里定积分的面积法挂钩，分割成面积数列，然后求极限，或者和导数定义挂钩，有兴趣的老师可以设计相关的题。