高考数学一轮总复习 第十一篇 第7讲 随机变量的均值与方差课件 理 湘教版.ppt

第7讲随机变量的均值与方差 2014年高考会这样考 1 考查有限个值的随机变量均值 方差的概念 2 利用随机变量的均值 方差解决一些实际问题 考点梳理 当随机变量x的概率分布pj p x xj j 0 1 n 就称e x 为x的数学期望或均值 1 随机变量的均值 x1p1 x2p2 xnpn 当随机变量x有概率分布pj p x xj j 0 1 n和数学期望 e x 就称 x1 2p1 x2 2p2 xn 2pn 2 随机变量的方差 两个防范在记忆d ax b a2d x 时要注意 1 d ax b ad x b 2 d ax b ad x 三种分布 1 若x服从两点分布 则e x p d x p 1 p 2 若x b n p 则e x np d x np 1 p 助学 微博 六条性质 1 e c c c为常数 2 e ax b ae x b a b为常数 3 e x1 x2 ex1 ex2 4 如果x1 x2相互独立 则e x1 x2 e x1 e x2 5 d x e x2 e x 2 6 d ax b a2 d x a b为常数 答案a 考点自测 2 已知x的分布为设y 2x 3 则e y 的值为 答案a a n 8 p 0 2b n 4 p 0 4c n 5 p 0 32d n 7 p 0 45解析 x b n p e x np 1 6 答案a 3 设随机变量x b n p 且e x 1 6 d x 1 28 则 4 2013 成都五校联考 从一批含有13件正品 2件次品的产品中不放回地抽3次 每次抽取1件 设抽取的次品数为 则e 5 1 a 2b 1c 3d 4 答案c 5 2013 韵关调研 有一批产品 其中有12件正品和4件次品 从中有放回地任取3件 若x表示取到次品的次数 则d x 1 若花店一天购进16枝玫瑰花 求当天的利润y 单位 元 关于当天需求量n 单位 枝 n n 的函数解析式 2 花店记录了100天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 考向一随机变量的均值和方差 例1 2012 新课标全国 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝10元的价格出售 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 若花店一天购进16枝玫瑰花 x表示当天的利润 单位 元 求x的分布 数学期望及方差 若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花 你认为应购进16枝还是17枝 请说明理由 审题视点 1 根据日需求量分类求出函数解析式 2 根据当天的需求量 写出相应的利润 列出分布 求出数学期望和方差 比较两种情况的数学期望或方差即可 解 1 当日需求量n 16时 利润y 80 当日需求量n 16时 利润y 10n 80 2 x可能的取值为60 70 80 并且p x 60 0 1 p x 70 0 2 p x 80 0 7 x的分布为 x的数学期望为e x 60 0 1 70 0 2 80 0 7 76 x的方差为d x 60 76 2 0 1 70 76 2 0 2 80 76 2 0 7 44 答案一 花店一天应购进16枝玫瑰花 理由如下 若花店一天购进17枝玫瑰花 y表示当天的利润 单位 元 那么y的分布为 y的数学期望为e y 55 0 1 65 0 2 75 0 16 85 0 54 76 4 y的方差为d y 55 76 4 2 0 1 65 76 4 2 0 2 75 76 4 2 0 16 85 76 4 2 0 54 112 04 由以上的计算结果可以看出 d x d y 即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小 另外 虽然e x e y 但两者相差不大 故花店一天应购进16枝玫瑰花 答案二 花店一天应购进17枝玫瑰花 理由如下 若花店一天购进17枝玫瑰花 y表示当天的利润 单位 元 那么y的分布列为 y的数学期望为e y 55 0 1 65 0 2 75 0 16 85 0 54 76 4 由以上的计算结果可以看出 e x e y 即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润 故花店一天应购进17枝玫瑰花 1 求随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值 写出随机变量的分布 正确运用均值 方差公式进行计算 2 要注意观察随机变量的概率分布特征 若属二项分布的 可用二项分布的均值与方差公式计算 则更为简单 训练1 a b两个代表队进行乒乓球对抗赛 每队三名队员 a队队员是a1 a2 a3 b队队员是b1 b2 b3 按以往多次比赛的统计 对阵队员之间的胜负概率如下 现按表中对阵方式出场胜队得1分 负队得0分 设a队 b队最后所得总分分别为x y 1 求x y的分布 2 求e x e y 审题视点 利用期望与方差的性质求解 考向二均值与方差性质的应用 若x是随机变量 则 f x 一般仍是随机变量 在求 的期望和方差时 熟练应用期望和方差的性质 可以避免再求 的分布带来的繁琐运算 训练2 a b两个投资项目的利润分别为随机变量x1和x2 根据市场分析 x1和x2的分布分别为 1 在a b两个项目上各投资100万元 y1和y2分别表示投资项目a和b所获得的利润 求方差d y1 d y2 2 将x 0 x 100 万元投资a项目 100 x万元投资b项目 f x 表示投资a项目所得利润的方差与投资b项目所得利润的方差的和 求f x 的最小值 并指出x为何值时 f x 取到最小值 解 1 由题设可知y1和y2的分布为e y1 5 0 8 10 0 2 6 d y1 5 6 2 0 8 10 6 2 0 2 4 e y2 2 0 2 8 0 5 12 0 3 8 d y2 2 8 2 0 2 8 8 2 0 5 12 8 2 0 3 12 例3 2012 福建 受轿车在保修期内维修费等因素的影响 企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关 某轿车制造厂生产甲 乙两种品牌轿车 保修期均为2年 现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆 统计数据如下 考向三均值与方差的实际应用 将频率视为概率 解答下列问题 1 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆 求其首次出现故障发生在保修期内的概率 2 若该厂生产的轿车均能售出 记生产一辆甲品牌轿车的利润为x1 生产一辆乙品牌轿车的利润为x2 分别求x1 x2的分布列 3 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当 由于资金限制 只能生产其中一种品牌的轿车 若从经济效益的角度考虑 你认为应生产哪种品牌的轿车 说明理由 审题视点 1 利用互斥事件的概率公式求其概率 2 确定随机变量x1 x2可能的取值 分别求出x1 x2每个值对应概率 列出x1 x2的分布 3 代入均值公式求出e x1 e x2 比较e x1 e x2 大小 做出判断 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了随机变量稳定于均值的程度 它们从整体和全局上刻画了随机变量 是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据 一般先比较均值 若均值相同 再用方差来决定 训练3 2013 庆安一模 在一次智力测试中 有a b两个相互独立的题目 答题规则为 被测试者答对问题a可得分数为a 答对问题b可得分数为b 先答哪个题目由被测试者自由选择 但只有第一个问题答对 才能再答第二个问题 否则终止答题 若你是被测试者 且假设你答对问题a b的概率分别为p1 p2 解 1 设先答问题a的得分为随机变量x 先答问题b的得分为随机变量y p x 0 1 p1 p x a p1 1 p2 p x a b p1p2 e x 0 1 p1 ap1 1 p2 a b p1p2 ap1 1 p2 a b p1p2 ap1 bp1p2 p y 0 1 p2 p y b p2 1 p1 p y a b p1p2 e y 0 1 p2 bp2 1 p1 a b p1p2 bp2 1 p1 a b p1p2 bp2 ap1p2 e x e y ap1 1 p2 bp2 1 p1 2 若a 10 b 20 则e x e y 10p1 20p2 10p1p2 当10p1 20p2 10p1p2 0 即p1 p1p2 2p2时 选择先答a题 命题研究 随机变量的期望 方差与其他数学知识相结合的问题 在近两年的高考中时有出现 体现了在知识交汇处命题的指导思想 这类题目常以解答题的形式出现 将期望 方差与方程 函数 不等式等知识融合在一起 综合考查学生分析问题 解决问题的能力 题目难度适中 一般属于中档题 规范解答17 均值 方差与其他数学知识的综合问题 真题探究 本小题满分12分 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况 随机抽取了100名观众进行调查 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为 体育迷 1 根据已知条件完成下面的2 2列联表 并据此资料你是否认为 体育迷 与性别有关 2 将上述调查所得到的频率视为概率 现在从该地区大量电视观众中 采用随机抽样方法每次抽取1名观众 抽取3次 记被抽取的3名观众中的 体育迷 人数为x 若每次抽取的结果是相互独立的 求x的分布 期望e x 和方差d x 教你审题 1 利用频率分布直方图 根据各矩形面积之和为1 求出样本数据落在区间 40 60 内的频率 则易求出频数即为 体育迷 人数 2 2列联表中各个值随之求出 计算 2的值 并作出判断 2 确定 的可能取值 利用二项分布概率公式求出概率 列出分布 代入公式求e x d x 规范解答 1 由所给的频率分布直方图知 体育迷 人数为100 10 0 020 10 0 005 25 非体育迷 人数为75 从而2 2列联表如下 3分 将2 2列联表的数据代入公式计算 因为2 706 3 030 3 841 所以有90 的把握认为 体育迷 与性别有关 6分 阅卷老师手记 求解概率统计题应会对事件构成进行分析 弄清 等可能性 与 非等可能性 的区别 有序取 与 无序取 的区别 有放回取 与 不放回取 的区别 互斥 与 独立 的意义 会用排列 组合的知识求事件的概率 用互斥事件 独立事件 重复试验等概率公式求事件的概率 对于复杂事件 要能够分解成若干个简单事件的和事件 不能遗漏 求随机变量的分布时 要自觉应用随机变量的分布的性质进行检验 一般利用随机变量的均值的定义求解 对于有些实际问题中的随机变量 如果能断定它服从某常见的典型分布 则可直接利用期望公式求得 因此 应熟记常见的典型分布的期望公式 可提高解题速度 试一试 2013 晋城一模 甲 乙两射手进行射击比赛 分别射击100次 已知甲 乙射手射击的环数x y稳定在7 8 9 10环上 他们这次成绩用直方图表示如下 如图 1 根据这次比赛的成绩直方图 推断乙击中8环的概率p y 8 以及求甲 乙同时击中9环以上 含9环 的概率 2 根据这次比赛成绩估计甲 乙谁的水平更高 即平均每次击中的环数多 所以p y 8 1 p y 7 p y