高考数学 7.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算课件.ppt

第六节空间直角坐标系 空间向量及其运算 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 空间直角坐标系及有关概念 空间直角坐标系 oxyz x轴 y轴 z轴 空间一点m的坐标 空间一点m的坐标可以用有序实数组 x y z 来表示 记作m x y z 其中x叫做点m的 y叫做点m的 z叫做点m的 建立了空间直角坐标系 空间中的点m与有序实数组 x y z 可建立 的关系 横坐标 纵坐标 竖坐标 一一对应 2 空间两点间的距离公式 中点公式 距离公式 设点a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 ab 设点p x y z 则与坐标原点o之间的距离为 op 中点公式 设点p x y z 为p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 的中点 则 3 空间向量的有关概念 大小 方向 1 0 相同 相等 相反 相等 平行或重合 同一个平面 4 空间向量的有关定理 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使得 共面向量定理 如果两个向量a b 那么向量p与向量a b共面的充要条件是存在 的有序实数对 x y 使 空间向量基本定理 如果三个向量a b c 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得 其中 叫做空间的一个基底 a b 不共线 唯一 p xa yb 不共面 p xa yb zc a b c 5 空间向量的数量积及运算律 a b aob 0 a b cos a b a b b a a b a c 6 空间向量的坐标运算a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a b均为非零向量 a1b1 a2b2 a3b3 0 a1b1 a2b2 a3b3 2 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 利用向量的线性运算和空间向量基本定理用基向量表示指定向量的方法 利用共线向量定理 空间向量定理证明一些平行 共面问题的方法 利用数量积运算解决一些距离 长度 夹角问题的方法 2 数学思想 数形结合思想 转化与化归思想和函数与方程思想 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 空间中任意两非零向量a b共面 2 对于任意两个空间向量a b 若a b 0 则a b 3 在向量的数量积运算中 a b c a b c 4 对于非零向量b 若a b b c 则a c 5 若a b 0 则是锐角 解析 1 正确 由于向量可平移 因此空间任意两向量都可平移到同一起点 故空间任意两非零向量共面 2 错误 若a与b是非零向量 才有a b 0 a b 3 错误 因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向量 a b c c a b c a 故 a b c与a b c 不一定相等 4 错误 根据向量数量积的几何意义 a b b c说明a在b方向上的投影与c在b方向上的投影相等 而不是a c 5 错误 a b 0 则 即可能为0 也就是a与b同向 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 选修2 1p97习题3 1a组t2改编 如图 平行六面体abcd a1b1c1d1中 ac与bd的交点为点m 设则下列向量中与相等的向量是 a a b cb a b cc a b cd a b c 解析 选c 2 选修2 1p98t8改编 已知a 2 4 x b 2 y 2 若 a 6 且a b 则x y的值为 解析 由 a 6 得 6 解得x 4 又a b 所以2 2 4y 2x 0 即x 2y 2 当x 4时 得y 3 所以x y 1当x 4时 得y 1 所以x y 3 答案 1或 3 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 深圳模拟 已知三棱锥o abc 点m n分别为ab oc的中点 且用a b c表示 则等于 a b c a b a b c c a b c d c a b 解析 选d 由题意知因为所以 c a b 故选d 2 2015 金华模拟 已知四边形abcd满足 则该四边形为 a 平行四边形b 梯形c 长方形d 空间四边形 解析 选d 由已知得由夹角的定义知 b c d a均为钝角 故a b c不正确 3 2015 成都模拟 已知a 1 0 2 b 6 2u 1 2 若a b 则 与u的值可以是 c 3 2d 2 2 解析 选a 由题意知 1 2 2 6 可得 3或2 由0 2 2 2u 1 可得u 分析选项可知a正确 考点1空间向量的线性运算 典例1 1 2015 合肥模拟 向量a 2 0 5 b 3 1 2 c 1 4 0 则a 6b 8c 2 如图所示 在空间几何体abcd a1b1c1d1中 各面为平行四边形 设m n p分别是aa1 bc c1d1的中点 试用a b c表示以下各向量 解题提示 1 根据向量坐标线性运算的法则进行运算 2 利用三角形法则或多边形法则把待表示向量用其他向量表示 逐渐向向量a b c靠拢 规范解答 1 a 6b 8c 2 0 5 6 3 1 2 8 1 4 0 2 0 5 18 6 12 8 32 0 28 26 7 答案 28 26 7 2 因为p是c1d1的中点 所以 因为m是aa1的中点 所以又所以 互动探究 在例 2 的条件下 若试用a b c表示 则结果如何 解析 如图 连接af 则由已知abcd是平行四边形 故 又由已知所以所以 规律方法 1 用基向量表示指定向量的方法用已知基向量表示指定向量时 应结合已知和所求向量观察图形 将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中 然后利用三角形法则或平行四边形法则 把所求向量用已知基向量表示出来 2 向量加法的多边形法则首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 我们把这个法则称为向量加法的多边形法则 提醒 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算 变式训练 2015 长春模拟 如图所示 已知空间四边形oabc 其对角线为ob ac m n分别为oa bc的中点 点g在线段mn上 且若则x y z的值分别为 解析 设则又所以答案 加固训练 1 已知p为矩形abcd所在平面外一点 pa 平面abcd m在线段pc上 n在线段pd上 且pm 2mc pn nd 若则x y z 解析 如图 所以答案 2 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 o为ac的中点 1 化简 2 用 3 设e是棱dd1上的点 且若试求x y z的值 解析 1 因为 3 如图所示 3 如图 已知m n分别为四面体abcd的面bcd与面acd的重心 g为am上一点 且gm ga 1 3 设试用a b c表示 解析 考点2共线定理 共面定理的应用 典例2 1 2015 烟台模拟 已知向量a 1 2 3 b x x2 y 2 y 并且a与b同向 则x y的值分别为 2 如图所示 已知斜三棱柱abc a1b1c1 点m n分别在ac1和bc上 且满足 0 k 1 向量是否与向量共面 直线mn是否与平面abb1a1平行 解题提示 1 根据a b构建方程组求解 但应排除反向的情况 2 看向量是否可表示成的形式 看能否与平面abb1a1两相交直线的方向向量共面 且是否在该平面内 从而作出判断 规范解答 1 由题意知a b 所以即解之得或当时 b 2 4 6 2a 即a与b反向 不符合题意 应舍去 当时 b 1 2 3 a 即a与b同向 故答案 1 3 2 因为所以由共面向量定理知向量与向量共面 当k 0时 点m a重合 点n b重合 mn在平面abb1a1内 当0 k 1时 mn不在平面abb1a1内 又由 1 知与共面 所以mn 平面abb1a1 规律方法 1 空间三点共线的判断方法结合已知向量从三点中提炼两个共点向量 利用共线向量定理判断 但一定要说明两线有公共点 2 证明空间四点共面的方法对空间四点p m a b可通过证明下列结论成立来证明四点共面 1 2 对空间任一点o 3 对空间任一点o 4 变式训练 2015 宜昌模拟 已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 2 求证 bd 平面efgh 3 设m是eg和fh的交点 求证 对空间任一点o 有 证明 1 连接bg 则由共面向量定理的推论知 e f g h四点共面 2 因为所以eh bd 又eh 平面efgh bd 平面efgh 所以bd 平面efgh 3 找一点o 并连接om oa ob oc od oe og 由 2 知同理所以即ehfg 所以四边形efgh是平行四边形 所以eg fh交于一点m且被m平分 加固训练 1 有下列命题 若p xa yb 则p与a b共面 若p与a b共面 则p xa yb 若则p m a b共面 若p m a b共面 则 其中真命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 正确 中若a b共线 p与a不共线 则p xa yb就不成立 正确 中若m a b共线 点p不在此直线上 则不正确 2 如图 已知各面均为平行四边形的四棱柱abcd a b c d e f g h分别是棱a d d c c c和ab的中点 求证 e f g h四点共面 证明 取所以与b c共面 即e f g h四点共面 考点3空间向量数量积的计算与应用知 考情空间向量数量积的计算与应用是高考考查空间向量的一个必考热点 常与线面位置关系 空间角 空间距离的计算问题综合 主要以解答题的形式出现 明 角度命题角度1 空间向量数量积的计算 典例3 2015 宁波模拟 如图所示 已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1 点e f g分别是ab ad cd的中点 计算 解题提示 选三个不共面的向量为基底 分别将相关向量用基向量表示 根据向量数量积运算法则转化为基向量的数量积运算 规范解答 设则 a b c 1 60 易错警示 解答本题有三点容易出错 1 在选择基底时 忽视不共面的条件而致误 2 在根据空间向量基本定理利用基向量表示相关向量如时出错 3 在向量的数量积运算时出错 命题角度2 空间向量数量积的应用 典例4 2015 张家界模拟 如图所示 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 以顶点a为端点的三条棱长都为1 且两两夹角为60 1 求ac1的长 2 求证 ac1 bd 3 求bd1与ac夹角的余弦值 解题提示 选为基向量 1 先求出 再用模长公式计算 2 求出 计算 0 3 先求出再用夹角公式计算 规范解答 设则 a b c 1 a b b c c a 60 所以a b b c c a 悟 技法1 空间向量数量积计算的两种方法 1 基向量法 a b a b cos 2 坐标法 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则a b x1x2 y1y2 z1z2 2 利用数量积可解决有关垂直 夹角 长度问题 1 a 0 b 0 a b a b 0 2 a 3 cos 通 一类1 2015 泰安模拟 在空间四边形abcd中 则的值为 a 1b 0c 1d 2 解析 选b 如图 令则 a c b b a c c b a a c a b b a b c c b c a 0 2 2015 揭阳模拟 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g h m分别是棱ad dd1 d1a1 a1a ab的中点 点n在四边形efgh的四边及其内部运动 则当n只需满足条件时 就有mn a1c1 当n只需满足条件时 就有mn 平面b1d1c 解析 以d为坐标原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为1 则n x 0 z 1 1 0 因此即x 故点n在线段eg上 就有mn a1c1 平面b1d1c的一个法向量为n 1 1 1 若mn 平面b1d1c 则 1 x z 0 即x z 0 故点n在线段eh上 就有mn 平面b1d1c 答案 点n在线段eg上点n在线段eh上 3 2015 合肥模拟 已知a x 4 1 b 2 y 1 c 3 2 z a b b c 求 1 a b c 2 a c与b c所成角的余弦值 解析 1 因为a b 所以解得x 2 y 4 此时a 2 4 1 b 2 4 1 又因为b c 所以b c 0 即 6 8 z 0 解得z 2 于是c 3 2 2 2 a c 5 2 3 b c 1 6 1 因此a c与b c所成角的余弦值为故a c与b c所成角的余弦值为 4 2015 重庆模拟 如图 在三棱柱abc a b c 中 a a 平面abc ac bc aa acb 90 d e分别为ab bb 的中点 1 求证 ce a d 2 求异面直线ce与ac 所成角的余弦值 解析 设根据题意 a b c 且a b b c c a 0 1 所以所以即ce a d 2 所以所以即异面直线ce与ac 所成角的余弦值为 自我纠错19空间向量的基本运算 典题 2015 中山模拟 如图所示 在各个面都是平行四边形的四棱柱abcd a1b1c1d1中 m是cd1的中点 点q在ca1上 且cq qa