考研数学 线性代数讲义2009年数二.pdf

水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 2009 年全国硕士研究生入学统一考试 2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二线性代数试题 数学二线性代数试题 一 选择题 每小题 4 分 一 选择题 每小题 4 分 7 设 7 设BA 均为 2 阶矩阵 且均为 2 阶矩阵 且 BA 分别 为 分别 为BA 的伴随矩阵 若的伴随矩阵 若3 2 BA 则 分块矩阵 则 分块矩阵 0 0 B A 的伴随矩阵为 的伴随矩阵为 A A 02 30 A B B B 03 20 A B C C 02 30 B A D D 03 20 B A 答案 B 答案 B 解析 由于分块矩阵 解析 由于分块矩阵 0 0 B A 的行列式的行列式 632 1 0 0 22 BA B A 即分块 即分块 1 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 矩阵可逆 根据公式矩阵可逆 根据公式 1 CCC 0 1 1 0 6 0 0 6 0 0 0 0 0 0 1 1 1 A A B B A B B A B A B A 03 20 0 2 1 3 1 0 6 A B A B 故答案为 B 故答案为 B 讲评 本题考查的知识点有 伴随矩阵和 逆矩阵的关系 分块矩阵的行列式 分块矩 阵的逆矩阵等 讲评 本题考查的知识点有 伴随矩阵和 逆矩阵的关系 分块矩阵的行列式 分块矩 阵的逆矩阵等 8 设 8 设PA 均为 3 阶矩阵 均为 3 阶矩阵 T P为为P的转置的转置 2 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 矩阵 且矩阵 且 200 010 001 APP T 若 若 321 p 3221 Q 则 则 AQQ T 为 为 A A 200 011 012 B B 200 021 011 C C 200 010 002 D D 200 020 001 答案 A 答案 A 解析 解析 1 100 011 001 12321 321 3221 Eaaa aaa aaaaQ 即 即 3 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 1 12 PEQ 1 1 1 1 1212 1212 EAPPE PEAPEAQQ TT T T 200 011 012 100 011 001 200 010 001 100 010 011 讲评 本题考查的知识点有 合同关系 初等变换 初等矩阵 矩阵的乘法运算等 讲评 本题考查的知识点有 合同关系 初等变换 初等矩阵 矩阵的乘法运算等 二 填空题 每小题 4 分 二 填空题 每小题 4 分 14 设 14 设 为 3 维列向量 为 3 维列向量 T 为为 的转 置向量 若 的转 置向量 若 T 相似于相似于 000 000 002 则 则 T 4 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 答案 2 答案 2 解析 因为 解析 因为 T 相似于相似于 000 000 002 根据 相似矩阵有相同的特征值 得到 根据 相似矩阵有相同的特征值 得到 T 的特征 值是而 的特征 值是而0 0 2 T 是一个常数 是矩阵是一个常数 是矩阵 T 的对角元素之和 则的对角元素之和 则2002 T 讲评 本题考查的知识点有 相似矩阵有 相同的特征值 矩阵的特征值的和等于矩阵 的迹等性质 讲评 本题考查的知识点有 相似矩阵有 相同的特征值 矩阵的特征值的和等于矩阵 的迹等性质 三 解答题 三 解答题 22 本题满分 11 分 设 22 本题满分 11 分 设 2 1 1 240 111 111 1 A 求满足 求满足 13 2 12 AA的所有向 量 的所有向 量 32 5 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 对 中的任一向量 对 中的任一向量 32 证明 证明 321 线性无关 线性无关 解析 解方程 解析 解方程 12 A 0000 2 1 2 1 10 2 1 2 1 01 0000 2 1 2 1 10 1111 2240 1111 1111 故故 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 12 k 其中 其中 1 k为任意常为任意常 6 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 数 数 解方程解方程 13 2 A 044 022 022 2 A 0000 0000 2 1 011 2044 1022 1022 故故 1 0 0 0 1 1 0 0 2 1 323 kk 其中 其中 32 k k为任意常数 为任意常数 证明 由于 证明 由于 7 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 0 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 00 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 11 31 21 31 21 21 kk kk kk kk kk kk 故故 321 线性无关 线性无关 讲评 本题考查的知识点有 矩阵的运算 非齐次线性方程组求解 解的结构 线性无 关的概念 三个三维向量线性无关的充要条 件是行列式不为零 行列式的计算等 讲评 本题考查的知识点有 矩阵的运算 非齐次线性方程组求解 解的结构 线性无 关的概念 三个三维向量线性无关的充要条 件是行列式不为零 行列式的计算等 8 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 23 本题满分 11 分 设二次型 23 本题满分 11 分 设二次型 3231 2 3 2 2 2 1321 22 1 xxxx xaaxaxxxxf 求二次型的矩阵的所有特征值 求二次型的矩阵的所有特征值 f 若二次型的规范形为 若二次型的规范形为f 2 2 2 1 yy 求 的值 求 的值 a 解析 解析 111 10 10 a a a A 121 10 00 111 10 0 111 10 10 a a a a a aa a a a AE 9 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 2 1 2 2 aaa aaa 所以二次型的矩阵所以二次型的矩阵A的特征值为 的特征值为 1 2 aaa 若规范形为 若规范形为 2 2 2 1 yy 说明有两个特 征值为正 一个为 0 说明有两个特 征值为正 一个为 0 当时