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第九节直线与圆锥曲线的位置关系 1 直线与圆锥曲线的位置关系将直线l的方程ax by c 0 a b不同时为0 代入圆锥曲线c的方程f x y 0 消去y 也可以消去x 得ax2 bx c 0 1 当a 0时 设方程ax2 bx c 0的判别式为 则 0 直线与圆锥曲线c 0 直线与圆锥曲线c 0 直线与圆锥曲线c 相交 相切 相离 平行 平行或重合 1 若直线与圆锥曲线只有一个交点 则直线与圆锥曲线一定相切吗 提示 不一定相切 如在抛物线y2 2px p 0 中 过抛物线上任一点作平行于对称轴的直线 则该直线与抛物线有且只有一个交点 但此时直线与抛物线相交 而非相切 2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的最短弦长是多少 提示 当弦垂直于x轴时 弦长最短为2p 答案 b 4 2012 韶关质检 已知倾斜角为60 的直线l通过抛物线x2 4y的焦点 且与抛物线相交于a b两点 则弦ab的长为 答案 16 已知抛物线的方程为y2 4x 直线l过定点p 2 1 斜率为k k为何值时 直线l与抛物线y2 4x只有一个公共点 有两个公共点 没有公共点 思路点拨 写出直线l的方程 和抛物线方程联立 消去y得到形如ax2 bx c 0的方程 再讨论此方程解的个数 直线与圆锥曲线的位置关系 1 直线与圆锥曲线的位置关系主要是指公共点问题 相交弦问题及其他综合问题 解决这类问题的常用方法是转化为研究它们所对应的方程组解的个数问题 体现了方程的思想 2 判断直线与圆锥曲线位置关系时 判别式 起着关键性的作用 1 可以限定所给参数的范围 2 可以取舍某些解以免产生增根 3 联立直线与圆锥曲线的方程消元后 应注意讨论二次项系数是否为零的情况 已知直线l y 2x m 椭圆c 1 试问 当m取何值时 直线l与椭圆c 1 有两个不重合的公共点 2 有且只有一个公共点 3 没有公共点 2012 深圳调研 已知椭圆的两个焦点分别为f1 0 2 f2 0 2 离心率为e 1 求椭圆方程 2 一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点m n 且线段mn中点的横坐标为 求直线l的倾斜角的取值范围 弦中点 弦长问题 最值与范围问题 把本题 2 中的条件 若原点o在以线段gh为直径的圆内 换成 若原点o恰好在以线段gh为直径的圆上 求相应问题 从近两年高考试题看 直线与圆锥曲线是高考的必考内容 尤其是定点 定值问题 最值或范围问题 探索性问题是高考的热点内容 命题方式多与向量 不等式 导数等工具性知识点交汇命制 体现知识重组 由于该部分知识是数形结合的完美载体
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