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第2章数值积分 NumericalIntegration 近似计算 在实际问题中 往往会遇到被积函数f x 的原函数无法用初等函数来表示 或函数只能用表格表示 或有的虽然能用初等函数表示 但过分复杂 所以这些情形都需要去建立定积分的近似计算公式 在数值积分方面 最容易得到的是用f x 的代数插值函数p x 来代替它 即 将积分区间细分 在每小区间内用简单函数代替复杂函数 这是数值积分的基本思想 对替代函数的要求 1 精度要高 2 计算量要小 2插值型积分公式 在 a b 上取a x0 x1 xn b 做f的n次插值多项式 即得到 节点 f x 误差 插值型积分公式 interpolatoryquadrature 梯形公式 trapezoidalrule 解 逐次检查公式是否精确成立 代入P0 1 代入P1 x 代入P2 x2 代数精度 1 注 形如的求积公式至少有n次代数精度 该公式为插值型 即 2Newton Cotes公式 2Newton CotesFormulae 当节点等距分布时 令 Cotes系数 注 Cotes系数仅取决于n和i 可查表得到 与f x 及区间 a b 均无关 最常用的数值积分公式 是节点等距时的求积公式 称牛顿 柯特斯 New ton cotes 求积公式 n 1 2 3 4 5时各有专门名称 2Newton CotesFormulae n 1 TrapezoidalRule 令x a th h b a 用中值定理 代数精度 1 n 2 Simpson sRule 代数精度 3 n 3 Newton s Rule 代数精度 3 n 4 CotesRule 代数精度 5 n为偶数阶的Newton Cotes公式至少有n 1次代数精度 2Newton CotesFormulae Newton Cotes公式的稳定性 舍入误差 考察Cotes系数 因此用Newton Cotes公式计算积分的舍入误差主要由 其值可以精确给定 2Newton CotesFormulae 记 而理论值为 2Newton CotesFormulae 2Newton CotesFormulae 即 Newton Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的 此时 公式的稳定性将无法保证 因此 在实际应用中一般不使用高阶
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