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文档简介

第一节矩阵的秩 Ch3矩阵的秩与线性方程组 一 矩阵秩的概念 例1 解 例2 解 取自非零行首非零元所在列 例3 解 计算A的3阶子式 另解 显然 非零行的行数为2 此方法简单 二 矩阵秩的计算 问题 经过初等变换后 矩阵的秩变吗 证明略 初等变换求矩阵秩的方法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 例4 解 1 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 例5 解 分析 三 小结 2 初等变换法 1 矩阵秩的概念 2 求矩阵秩的方法 1 利用定义 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 即寻找矩阵中非零子式的最高阶数 思考题1 思考题1解答 思考题2 2 设A为可逆阵 且r A 3 则r AB r B 0 思考题2解答 答 相等 即 由此可知 俩方程组 第二节齐次线性方程组 Ch3矩阵的秩与线性方程组 一 齐次线性方程组有解的判定条件 问题 引例求解齐次线性方程组 解 2 得 得 说明第3个方程是多余的 说明什么问题 得 行最简形矩阵 即得与原方程组同解的方程组 移项即得 证 必要性 从而 定理1 这与原方程组有非零解相矛盾 充分性 任取一个自由未知量为 其余自由未知量为 为求齐次线性方程组的解 只需将系数矩阵化成行最简形矩阵 便可写出其通解 二 线性方程组的解法 例1求解齐次方程组的通解 解对系数矩阵A进行初等变换 故方程组有非零解 且有 为什么选为非自由未知量 选行最简形矩阵中非零行首非零元1所在列 得方程组的通解为 例2设有齐次线性方程组 解 且其通解为 且其通解为 代入讨论同前 另解因为系数矩阵为含参数的方阵 故可考虑使用 行列式 法 对齐次线性方程组 三 小结 解法一因为系数矩阵为含参数的方阵 故可考虑使用 行列式 法 而 当a取何值时 下述齐次线性方程组有非零解 并且求出它的通解 思考题 通解为 解法二用 初等行变换 法 把系数矩阵化为阶梯形 第三节非齐次线性方程组 Ch3矩阵的秩与线性方程组 一 非齐次线性方程组有解的判定条件 问题 证 必要性 定理1 则的行最简形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程 即可得方程组的一个解 充分性 证毕 其余个作为自由未知量 把这行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量 例1求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵进行初等变换 定理1 故方程组无解 此乃第三章的精华所在 为求解非齐次线性方程组 只需将增广矩阵化成行阶梯形矩阵 便可判断其是否有解 若有解 再将行阶梯形矩阵化成行最简形矩阵 便可写出其通解 二 线性方程组的解法 例2求解非齐次方程组的通解 解对增广矩阵进行初等变换 所以方程组的通解为 例3 证 方程组的增广矩阵为 对增广矩阵进行初等变换 由于原方程组等价于方程组 由此得通解 例4设有线性方程组 解一
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