高考数学总复习 2.3函数的单调性与最值课件 人教版.ppt

第三讲函数的单调性与最值 一 函数的单调性1 函数的单调性一般地 设函数y f x 的定义域为a 区间i a 如果对于区间i内任意的两个值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说y f x 在区间i上是单调增函数 i称为y f x 的单调增区间 f x1 f x2 如果对于区间i内任意的两个值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说y f x 在区间i上是单调减函数 i称为y f x 的单调减区间 2 证明函数的单调性 1 任取x1 x2 d 且x1 x2 2 作差f x1 f x2 3 变形 通常是因式分解 配方 分子或分母有理化等 4 定号 即判断差f x1 f x2 的正负 5 判断 即指出函数f x 在给定的区间d上的单调性 复合函数单调性的判断 同增异减法 即确定函数的单调性或单调区间 在解答题中常用定义法 导数法 在选择题 填空题中还常用数形结合法 特殊值法 二 函数的最值1 函数的最大 小 值 1 函数值域中的最大者为最大值 最小者为最小值 2 有的函数有最大值和最小值 有的函数有最大值无最小值 有的函数有最小值无最大值 有的函数既无最大值也无最小值 2 函数的值域与函数的最值 从概念上看是不同的 函数值域是一个集合 而最值为这个集合中实数的最大值或最小值 是一个数 不是集合 求函数最值的方法与求函数值域的方法类似 答案 a 答案 d 3 定义新运算 当a b时 a b a 当a b时 a b b2 则函数f x 1 x x 2 x x 2 2 的最大值等于 a 1b 1c 6d 12解析 由题意知 当 2 x 1时 f x x 2 当1 x 2时 f x x3 2 又 f x x 2 f x x3 2在定义域上都为增函数 f x 的最大值为f 2 23 2 6 答案 c 4 f x 是定义在 0 上的增函数 对正实数x y都有 f xy f x f y 成立 则不等式f log2x 0的解集为 解析 令x y 1得f 1 f 1 f 1 即f 1 0 则f log2x 0 即为f log2x f 1 于是0 log2x 1 解集为 x 1 x 2 答案 x 1 x 2 5 2011四川高考 函数f x 的定义域为a 若x1 x2 a且f x1 f x2 时总有x1 x2 则称f x 为单函数 例如 函数f x 2x 1 x r 是单函数 下列命题 函数f x x2 x r 是单函数 若f x 为单函数 x1 x2 a且x1 x2 则f x1 f x2 若f a b为单函数 则对于任意b b 它至多有一个原象 函数f x 在某区间上具有单调性 则f x 一定是单函数 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 解析 对于 x1 2 x2 2时 有f x1 f x2 而x1 x2 故函数f x x2不为单函数 对于 假设f x1 f x2 由f x 为单函数 故x1 x2 这与x1 x2矛盾 故原命题成立 对于 根据单函数定义为一一对映函数 故正确 对于 函数在某区间上具有单调性 但在整个定义域上不一定符合单函数的定义 故不正确 答案 已知函数f x 的定义域为r 对任意实数m n都有f m n f m f n 且当x 0时 01 2 证明f x 在r上单调递减 自主解答 1 令m 1 n 0 代入f m n f m f n 中 得f 1 0 f 1 f 0 即f 1 f 1 f 0 1 0 0 f 1 1 由f 1 f 1 f 0 得f 0 1 2 设x10 且00 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 f x1 f x1 f x2 x1 1 x2 x1 0 f x2 x1 f x2 f x 在r上单调递减 题后总结 抽象函数的单调性判断方法是定义法 依据定义法的判断步骤进行 本题的原型是指数函数 解 1 令x1 x2 0 代入得f 1 f x1 f x2 0 故f 1 0 g x x 1 2 a 1 8分对称轴为x 1 且开口向上 所以g x 在 1 上递增 所以g x 在 1 上的最小值为g 1 3 a 由3 a 0得a 3 12分 于是问题转化为求函数 x x2 2x 在 1 上的最大值问题 x x 1 2 1在 1 上递减 x 1时 x 最大值为 1 3 a 3 12分 题后总结 利用单调性求最值 是函数单调性较重要的应用 不等式恒成立问题可转化为最值问题 但转化的方法有多种 选取适当的方法解决 错因分析 1 2 都可以通过去掉绝对值符号化为分段函数 且有两个易出错点 一是在化为分段函数时出错 二是把单调区间求错或是写错 如把第一个函数的单调递增区间写成 1 0 1 对于 3 是忽视了函数在定义域分界点上的函数值的大小 状元笔记 分段函数单调性的判定带有绝对值的函数实质上就是分段函数 对于分段函数的单调性 有两种基本的判断方法 一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间 最后对各个段上的单调区间进行整合 二是画出这个分段函数的图象 结合函数图象 性质进行直观的判断 研究函数问题离不开函数图象 函数图象反映了函数的所有性质 在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象 学会从函数图象上去分析问题 寻找解决问题的方法 对于函数的几个不同的单调递增 减 区间 切忌使用并集 只要指明这几个区间是该函数的单调递增 减 区间即可 纠错体验 已知函数f x 对任意实数x均有f x kf x 2 其中常数k为负数 且