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近世代数A/B模拟练习题参考答案1、 判断题（每题4分，共60分）1、如果循环群G=(a)中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（ ）2、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（ ）3、两个子群的交一定还是子群。（ ）4、若环R满足左消定律，那么R必定没有右零因子。（ ）5、任意置换均可表示为若干个对换的乘积。（ ）6、F（x)中满足条件p(a)=0的多项式叫做元a在域F上的极小多项式。（ ）7、已知是群的子群，则是群的正规子群当且仅当，都有 （ ）8、唯一分解环必是主理想环。( ) 9、已知是交换环，是的理想，则是的素理想当且仅当是整环。 （ ）10、欧氏环必是主理想环。（ ）11、整环中，不可约元一定是素元。（ ）12、子群的并集必是子群。（ ）13、任何群都同构于某个变化群。( )14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。( )15、集合，是从到的映射。（ ）2、 证明题（每题20分，共300分）1、求在上的最小多项式。解：令，则.于是.移项后得.两边平方，得到.这是上满足的上6次方程，故.又，可得.由及，知.而由知.又及，得.于是，因而.由于，故6次多项式是在上的最小多项式.2、 求出阶是32的循环群()的所有子群，这些子群是否都是不变子群。解：因为(a)为循环群，所以(a)为交换群，又因为32的所有正整数因子为：1,2,4,8,16,26.所以循环群(a)的所有子群为循环子群：并且这些子群都是不变子群。3、记表示非零复数集合, 是模为1的复数集合, 表示正实数集合,证明 。证明: Step(1) 证明关于复数的乘法构成群a) 因为,所以非空b) 易知,复数的乘法是的一个映射,从而它是上的一个二元代数系统c) 成立,从而满足结合律d) ,有,所以1是单位元e) ,有,所以中任意元素均有逆元综合以上五点可知, 关于复数的乘法构成群Step(2) 证明 是的正规子群a) 可知是交换群,而交换群的子群一定是正规子群,所以仅需证明是子群即可b) ,有成立综合上述两点,即知是的正规子群Step(3) 证明a) 已证关于复数的乘法构成群,是的正规子群,且易知关于数的乘法构成群b) 定义:,可知是映射c) ,所以是群同态d) ,存在使得,所以是满射e) 可知综合上述几点,根据群同态基本定理,可知4、 设是模8的剩余类环，在一元多项式环中把计算出来，并求的导数。解：R是模8的剩余类环（1）（2） 多项式的导数为5、证明证明：（1）Step1，求零化多项式，令，则现令，有Step2，验零化多项式的不可约性因为所以从而是上的不可约多项式综合上述两点，可知是在上的极小多项式（2）由（1）知上线性空间的维数等于在上的极小多项式的次数，所以若，则，所以线性无关综合上述两点，即知是上线性空间的一个基。6、 求出模48的剩余类加群的所有子群，这些子群是否是不变子群？解：因为为循环群，所以为交换群，又因为48的所有正整数因子为：1,2,3,4,6,8,12,16,24,48.所以模48的剩余类加群的所有子群为循环子群：(1),(2),(3),(4),(6),(8),(12),(16),(24),(0).并且这些子群都是不变子群。7、设为域上的一元多项式环, ,则为极大理想当且仅当为不可约多项式。证明：（必要性）假设不是不可约元，可知不是零元也不是可逆元，从而存在非零非可逆元，使得，故，因为是极大理想，所以，故可逆，矛盾。综上是不可约元（充分性）若有理想，则因为是主理想环，所以必有使得，从而，由是不可约元可知，或者为可逆元，或者与相伴。前者说明，后者说明，故为极大理想8、 证明：设H是群G的指数为2的子群，那么H一定是不变子群。证明：由题意知H的两个不同的左陪集为H,aH，H的两个不同的右陪集为H,Hb.显然，aH=Hb若对任意的cH,有cH=H=Hc;若对任意的cH,有cH=aH=Hb=Hc;所以H是不变子群。9、证明，其中， 表示最大公倍数。证明：由。同样有，即得设，于是，但，于是，则。因此,就得到10、 假设和是环的两个理想，证明：也是的理想。证明：（1）对任意的,必有和；再由和是环的理想知和；（2） 对任意的，必有和；再由和是环的理想可知对任意的，有和；所以综上可知也是的理想11、证明，其中， 表示最大公约数。证明：，得。又有使，得，就有12、是A的子环，则也是子环么？也是子环么？证明：由子环的充分必要条件，要证对任意有；因为S1，S2是A的子环，故，因而，所以是子环不一定是子环，在矩阵环中很容易找到反例：设，易见S1与S2均为子环，但不是子环。13、设是一个群.若皆有，则是交换群。解：由题设，.对后一等号两边左乘，右乘，就得到.14、证明：是域。（其中.）证明：先计算的全部元素.记剩余类为，