高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积课件.ppt

第3课时平面向量的数量积 第四章平面向量 数系的扩充与复数的引入 基础梳理 aob 0 180 当 90 时 a与b垂直 记作a b 当 0 时 a与b同向 当 180 时 a与b反向 2 a与b的数量积已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 则把 a b cos 叫做a和b的数量积 或内积 记作 3 规定0 a 0 a b a b cos 思考探究 2 向量的数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a 2 a b 3 当a与b同向时 a b 当a与b反向时 a b a e a cos a b 0 a b a b 特别地a a 4 cos 5 a b 3 向量的数量积的运算律 1 a b 2 a b 3 a b c a 2 a b b a a b a b r a c b c 思考探究2 非零向量a b的夹角为 则a b 0是 为锐角的什么条件 提示 a b 0 为锐角或a b的夹角为0 而当 为锐角时 a b a b cos 一定为正值 所以a b 0是 为锐角的必要不充分条件 课前热身1 若a 1 2 b 1 1 则2a b和a b的夹角等于 答案 3 3 2011 高考课标全国卷 已知a和b为两个不共线的单位向量 k为实数 若向量a b和向量ka b垂直 则k 解析 a b是单位向量 a b 1 又ka b和a b垂直 a b ka b 0 k 1 ka b a b 0 即k 1 kcos cos 0 为a b夹角 k 1 1 cos 0 又 a和b不共线 cos 1 k 1 答案 1 4 2011 高考重庆卷 已知单位向量e1 e2的夹角为60 则 2e1 e2 考点1数量积的定义 名师点评 1 要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系 在向量的运算中 灵活运用运算律 达到简化运算的目的 2 可借助图形 如平行四边形 三角形 再结合解三角形的相关知识解决 备选例题 教师用书独具 答案 26 答案 考点2长度与角度问题1 向量的模多为求两点间的距离 考查向量的加 减法 坐标运算和数量积 2 向量的夹角涉及到三角函数问题 因而是考查的热点之一 重点在角的范围 数量积公式的应用上 也同时可考查数形结合思想的应用 名师点评 1 解决两向量夹角问题要考虑两向量夹角的范围 2 解决向量模的问题 一般采用平方的方法 备选例题 教师用书独具 2011 高考安徽卷 已知向量a b满足 a 2b a b 6且 a 1 b 2 则a与b的夹角为 变式训练2 已知 a 1 b 6 a b a 2 则向量a与b的夹角是 考点3平行与垂直问题设向量a 4cos sin b sin 4cos c cos 4sin 1 若a和b 2c垂直 求tan 2 求 b c 的最大值 3 若tan tan 16 求证a b 解 1 a和b 2c垂直 故a b 2c 4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin 8cos 0 tan 2 名师点评 向量的垂直和平行可化为向量坐标的运算问题 实现了几何与代数的相互转化 备选例题 教师用书独具 变式训练3 已知 a 5 b 4 且a与b的夹角为60 则当k为何值时 向量ka b与a 2b垂直 考点4数量积的综合应用 名师点评 新课标强调向量的工具性 要求加强向量与三角函数 函数 解析几何 立体几何等知识的联系 方法技巧1 平面向量的数量积的运算有两种形式 一是依据长度与夹角 二是利用坐标来计算 具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择 2 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用 要掌握此类问题的处理方法 1 a 2 a2 a a 2 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 3 求向量的夹角时要注意 1 向量的数量积不满足结合律 2 数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角 数量积等于0说明两向量的夹角为直角 数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角 4 应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量 观察条件和结论 选择使用向量的哪些性质解决相应的问题 如用数量积解决垂直 夹角问题 用三角形法则 模长公式解决平面几何线段长度问题 用向量共线解决三点共线问题等 总之 要应用向量 如果题设条件中有向量 则可以联想性质直接使用 如果没有向量 则更需要有向量工具的应用意识 强化知识的联系 善于构造向量解决问题 失误防范1 两向量a b的数量积a b与代数中a b的乘积写法不同 不应该漏掉其中的 2 b在a上的投影是一个数量 它可正 可负 也可以等于0 命题预测江苏高考对本考点的能级要求为c 向量的长度和角度问题要求较高 主要是中等偏难题 数量积的综合应用以中档题为主 难度不大 预测2013对向量的长度和角度及数量积的求法 垂直与平行可能仍将重点考查 题型预计还会保持填空题的形式 但运用数量积处理其他数学问题是一种新的趋势 值得关注 典例透析2011 高考湖北卷改编 已知向量a x z 3 b 2 y z 且a b 若x y满足 x y 1 则z的取值范围是 解析 a x z 3 b 2 y z 且a b a b 2 x z 3 y z 0即2x 3y z 0 又 x y 1表示的区域为图中阴影部分 当2x 3y z 0过点b 0 1 时 zmi