高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学案 北师大版必修4.doc

3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学三点剖析1.二倍角与降幂公式【例1】 已知sin(+x)sin(-x)=,x(,)，求sin4x的值.思路分析:注意到+x+-x=，可用诱导公式变形后计算.解:由sin(+x)sin(-x)=可得sin(+x)cos(+x)=，即sin(+2x)=，sin(+2x)=，即cos2x=.又x(,),2x(,2).sin2x=.sin4x=2sin2xcos2x=.友情提示 在应用二倍角的同时，也用诱导公式或同角的三角函数关系.各个击破类题演练 1已知sin=,(,),求sin2,cos2,tan2的值.解析：sin=,(,)，cos=，sin2=2sincos=2()=，cos2=1-2sin2=1-2()2=，tan2=.变式提升 1(2006上海高考，文6) 函数y=sinxcosx的最小正周期是_.解析：化简，得y=sin2x,t=.答案：2.二倍角公式的变式应用【例2】已知cos(+x)=,x，求的值.思路分析:可先将待求式变形化简看需要哪些值，再由条件求出这些值.解:原式=sin2xtanx(x+).cos(+x)=,x,sin(x+)=tan(x+)=,sin2x=-cos(+2x)=-2cos2(+x)-1=.原式=()=.友情提示 分析角与角的关系，如-x与+x互为余角；2x是x的倍角.角的关系往往是解题的突破口.类题演练 2求下列各式的值 ：（1）（cos-sin）(cos+sin);(2)-cos2.解析:(1)(cos-sin)(cos+sin)=cos2-sin2=cos=.(2)-cos2=(2cos2-1)=cos=.变式提升 2已知（,）,|cos2|=,则sin的值是（ ）a. b. c. d.解析:(,),sin0,且2(,3).cos20.|cos2|=,cos2=-.由cos2=1-2sin2,得sin2=,sin=.应选c.答案:c3.升降幂公式的应用【例3】 求函数y=sin6x+cos6x的最值.思路分析：见“高次”降为“低次”，利用a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)和sin2x+cos2x=1求解.解：y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x=1-3sin2xcos2x=1-sin22x=cos4x,当x=(kz)时，y取最大值为1.当x=+(kz)时，y取最小值.友情提示 遇到高次就降幂，sin2x+cos2x=1,sin2x=,cos2x=都起到了降幂的作用，在应用cos2公式变形时，当心出现符号错误.类题演练 3已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；（2）若x0,求f(x)的最大值、最小值.解：（1）因为f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=cos(2x+),所以f(x)