用火箭发射人造卫星的道理---毕业论文.docx

【标题】用火箭发射人造卫星的道理 【作者】张 莉 【关键词】火箭人造卫星轨道数学模型速度质量 【指导老师】杨 世 显 【专业】数学与应用数学 【正文】1问题的提出用火箭发射卫星时，通常都采用三级火箭作为运载工具。例如，我们的长征2号火箭和欧洲共同体的阿里亚娜火箭都是三级火箭。火箭从地面发射时，先点燃第一级火箭的推进器加速火箭的飞行，到第一级火箭的燃料耗尽时将第一级火箭丢弃同时点燃第二级火箭，到第二级火箭的燃料燃尽时丢弃第二级火箭同时点燃第三级火箭，使火箭加速到一定的速度并将卫星送入轨道。使用三级火箭是不是偶然的？为什么不用一级、二级或四级火箭呢？使用三级火箭而不用一级或其他多级火箭绝不是偶然，而是采用数学模型与数学方法进行定量分析的结果。可以从数学上论证，采用三级火箭在某种意义下是最优的。要做这样的分析，必须建立合适的数学模型，下面我们将建立运载火箭的数学模型并说明采用三级火箭是最优的方案。运载火箭是一个十分复杂的系统，影响它飞行的有许多因素，例如发动机是否足够强大，火箭的结构是否有足够的强度，火箭的外形是否使前进阻力减小到足够最低限度，火箭的控制系统是否灵敏可靠，等等。要构造数学模型必须找出主要的因素。我们现在讨论的问题是将运载火箭垂直于地面发射，最后将卫星送入绕地球旋转的轨道并使它保持在轨道上运动而不致因地球的引力而坠落，要达到这一目的，卫星必须保持一定的速度，从而要求运载火箭在将卫星送入轨道时达到较大的速度。但此速度又是通过火箭推进器加速火箭的飞行获得的。由牛顿（Newton）第二定律，力等于加速度乘以质量，要获得较大的加速度，应当具有较大的推力和较小的质量，所以必须讨论火箭发动机的推力和火箭系统的质量。归结起来，我们将分别考虑卫星的速度计算问题，如何决定火箭的推力和如何决定火箭与卫星的质量，然后确定运载火箭的最佳级数。至于火箭的结构、外形及控制等问题，在确定火箭的最佳级数时不是主要的因素。我们只假定它们能满足保证火箭正常飞行的需要而不加以考虑。（1）设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为，要把卫星送上离地面的轨道，火箭末速度应是多少。（2）用动量守恒原理证明，由此认为要提高火箭的末速度应采取什么措施。（3）证明若（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为。求。这个说明什么。（4）假设燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，用动量守恒原理证明。问燃料用完时火箭末速度是多少，与前面的结果有何不同。（4）是个理想化的模型，实际上只能建造多级火箭的办法一段段的丢弃无用的结构部分。求出级火箭的速度公式。计算要使，发射一吨重的卫星需要多重的火箭。若用二级或四级火箭，结果如何。由此得出使用三级火箭发射人造卫星的道理。2具体模型2.1卫星的速度2.1.1问题的假设设地球是半径为的均匀球体，卫星的轨道是以地球为中心，半径为的圆周，并且设卫星绕地球做匀速圆周运动，为地表的重力加速度；设卫星的质量为，地球质量为，万有引力常数为，地球引力常数为；假设地球和卫星之间只考虑相互间的引力，其他星体的作用由于距离较远可以忽略不计。2.1.2问题的分析由地球是均匀球体的假设，可以将地球的质量集中在它的中心，应用牛顿万有引力定律得地球对距地心处的质量为的质点的引力为.(1)为决定地球引力常数，我们考察质量为的质点在地表所受的力。由引力公式（1）,它受到地球引力的作用，由牛顿第二定律有,从而可得.(2)和引力公式（3）2.1.3模型的建立由于卫星体积相对于地球而言是十分小的，可以视为一个质点，公式(3)即可作为描述地球对卫星的引力公式。现考察卫星的运动，设卫星以速度绕地球做匀速圆周运动（线速度为），所以卫星没有切向加速度，法向加速度为。卫星此时只受到地球的引力，于是由牛顿第二定律有从而得.（4）这就是卫星绕地球旋转不致因地球引力而坠落的速度。2.1.4模型的求解卫星是用火箭送入轨道的，所以火箭的末速度至少也应达到。若近似的取，可得，这是所谓的第一宇宙速度，若卫星距地球，则，从而由（4）得。2.2火箭推力问题首先将火箭简化为一个由载满燃料的燃料仓和火箭发动机构成的系统，燃料在发动机中燃烧，产生大量气体，从火箭的尾部喷射出来，对火箭产生向前的推力。2.2.1问题的假设假设在时刻火箭的质量为，火箭的速度为；设为气体喷射相当于火箭的速度，初速度，初始质量为；为简化分析，我们忽略影响不大的重力和空气阻力等。2.2.2问题的分析考察时段火箭系统的动量变化，在时刻，火箭系统的总动量为，而在时刻，动量为由动量守恒定律得：.(5)转换得：两边同时除以,并令得：转化得：从而得：.(6)由(6)式表明了火箭的推力就是燃料消耗速度与气体喷射速度的乘积。2.2.3模型的建立转换（6）式：即积分得：即：.(7)这是火箭飞行中任意时刻的速度。2.2.4模型的求解由于以设,则.(8)由此式可以看出要提高火箭的末速度应尽量减少时刻的质量。2.3火箭系统的质量2.3.1问题的假设假设火箭系统的质量由火箭的有效载荷，火箭的结构质量和装载的燃料质量三个主要部分组成；假设结构比和喷射速度由技术条件决定，目前喷射速度，结构比，它们在短时间内革新是很困难的。2.3.2问题的分析初始时刻火箭系统的质量为（9）火箭的末速度为.（10）以知火箭的结构比（11）从而得于是（10）式可改写为（12）2.3.3模型的建立于是可得对给定的值，当（即火箭不带卫星）时，火箭速度达最大值2.3.4模型的求解将目前，代入得一级火箭的末速度由此可见，一级火箭的速度无法达到第一宇宙速度的。即以现在的技术条件是无法用一级火箭来发射人造卫星的。2.4理想化的可随时抛去结构质量的火箭由火箭推力问题的分析可见，减少时刻火箭的质量是增加火箭速度的一个有效的措施，于是，人们构想一种理想化的火箭，即假设这种火箭在燃料耗去一部分时，用以装这部分的燃料的火箭结构可以同时抛去。2.4.1问题的假设假设火箭燃烧燃料的同时，不断丢弃无用的部分；设在时刻中，燃烧的燃料为，同时抛去的结构部分为；假设初速度为。2.4.2问题的分析在时刻，火箭的质量为,在时刻，动量为运用动量守恒定律并转换得：两边同时除以，并令得得：化简为：.（13）两边同时积分得：2.4.3模型的建立由已设，所以得火箭在飞行中任意时刻的速度为2.4.4模型的求解燃料用完时火箭的质量只剩下有效载荷（卫星）的质量，因此火箭的末速度为.（14）或.（15）由此可见，要增大的比值，就可以无限制地增加火箭的速度（从理论上说），意思就是通过用这种理想化的可随时抛去结构质量的火箭能将卫星送入轨道。并且这种理想化的可随时抛去结构质量的火箭能运载较大质量的卫星，即增大时也可以将卫星送入轨道，只要相应的增大的值。这些都是这种火箭对于不能抛弃结构质量的火箭的优点。2.5多级火箭的速度公式2.5.1问题的假设设火箭为级，各级火箭结构和燃料的总质量为，有效载荷为；假设结构比为，即第级火箭的质量为，而燃料的质量为；设与为给定值，且。2.5.2问题的分析多级火箭的速度公式：火箭的初始质量为：.（16）当第一级火箭的燃料消耗完毕时火箭的质量为：.（17）由（8）式得，此时火箭的速度为：.（18）将第一级火箭的结构抛出，点燃第二级火箭，此时第二级火箭的质量为：.（19）并具有初始速度，再用（8）式，当第二级火箭燃尽时，火箭的速度为：.（20）依次类推，当第级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度为或.（21）这就是级火箭的速度公式。各级火箭的质量分配：要如何决定各级火箭的质量使火箭的有效载荷达到最大，即就是对给定的初始质量如何选择，使得有效载荷达到最大值才？即就是在和之下求的极小值。令.(22)其中表示第级火箭点燃之前火箭系统的质量与该级火箭被抛去后火箭系统的质量之比，问题化为在约束条件.（23）下求的极小值。再令:，那么。由，得。求函数.（24）的极大值。2.5.3模型的建立由于上面的分析和前面的假设得满足约束条件和的最大值在时到达，且最大值为。将它用于级火箭可知当（25）时，达到最大值。由于.（26）.（27）将（25）式代入（26）式得：当，.（28）时，达到最大值，即：.（29）这就是要求得的最优化质量比。由此式不难看出，多级火箭的最优化质量比将随着火箭级数的增大而单调下降，且当时以为极限，这于前面所求得的（14）式是相同的，即以可随时抛弃火箭结构的质量比为极限。2.5.4模型的求解对已给的条件，利用（29）式计算不同的多级火箭的最优化质量比。见表11表（1）1 2 3 4 5 / 149 77 65 60 49从表11中可以看出，三级火箭的最优化质量比比较二级火箭低得多，用三级火箭代替二级火箭是十分有利的，用四级火箭来代替三级火箭，虽然能进一步降低最优化质量比，但降低的幅度不大，而且制造更多